Razón De Cambio

INTRODUCCIÓN

Este trabajo contiene un marco teórico y una guía de problemas prácticos que se basan en los usos y aplicaciones de los temas del bloque de esta Segunda Secuencia. El aprendizaje de los caracteres de las Derivadas debe empezar con el estudio de conceptos base, y como objetivo principal de este trabajo, se introducirán los temas:

-RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

-RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA

-LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA

-INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Como elementos fundamentales para la obtención de las derivadas, así como el procedimiento, las reglas y su importancia en el cálculo.

Los aportes de dicho proyecto contribuirán al desarrollo de las capacidades intelectuales enfocados únicamente en la materia Cálculo Diferencial. De igual manera, se proporcionarán fórmulas base para la correcta realización de problemas los cuales de presentaran en el transcurso de la Segunda Secuencia Didáctica.

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INTANTÁNEA.

La razón de cambio es la proporción en la que una variable cambia con respecto a otra, de manera más explícita hablamos de la pendiente de una curva en una gráfica, es decir el cambio en el eje "y" entre el cambio del eje "x". A esto se le conoce también como la primera derivada.

La razón de cambio instantánea también conocida como la segunda derivada se refiere a la rapidez con que la pendiente de una curva cambia en determinado momento. Por lo tanto hablamos de la razón de cambio de la pendiente en un momento especifico.

RAZON DE CAMBIO

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

El volumen de un globo mientras se infla

La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

Es el cociente de las diferencias de f durante el intervalo [a, b]. A la diferencia en las coordenadas x de los puntos de la gráfica de una función f se le llama incremento de x, se le denota mediante Δx que es igual a x2 – x1 es decir, Δx = x2 – x1 asimismo, Δy = y2 – y1 al formar el consiente de cambio en y con los cambios en x podemos escribir:

Δy/Δx donde a este cociente llamamos razón de cambio promedio. Es decir, Δf(x)/Δx=[f(x+Δx)-f(x)]/ Δx |

Como su nombre lo dice, la razón de cambio promedio da una medición de cuanto cambia la función f cuando x cambia una cantidad “delta x”.

Un ejemplo muy empleado podría ser:

Cambio en distancia/Cambio en velocidad = d2-d1/v2-v1

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