Razón De Cambio Y Tangente De Una Curva.

Guadalajara, Jal a 17 de Septiembre del 2014

Grupo: ER-ECDN-1402S-BI-001

Profesora: Eréndira Santos Viveros.

Alumno: Francisco Solís Mancilla

Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva.

Resuelve los siguientes problema sobre razón de cambio y tangente de una curva.

Un recipiente en forma de cono invertido, de altura y de radio está lleno con un líquido, este sufre una avería y el líquido comienza a fluir con una velocidad de . ¿Con qué velocidad baja el líquido cuando ha descendido de altura?

Formula de un cono invertido

Sea (r) el radio y h la altura de la superficie del agua en el instante t y V el volumen de agua que contiene el cono.

De los triángulos semejantes r/2 = h/10 por lo tanto r = 1/5 h

De la fórmula del triángulo del cono

V= 1/3 ¶ h r²

Sustituyendo el valor de r se tiene.

V = 1/3 ¶ h ( 1/5 h )² = 1/75 ¶ h³

(d(v))/dt = d/dt [1/75 ¶ h³] dh/dt = 3/75 ¶ h² dh/dt = 3/75¶ h2 dh/dt

Cuando (d(v))/dt = - este valor es negativo porque el volumen está decreciendo

h = 10 – 4 = 6 m es la altura cuando. Se descendió 4 m, el nivel de agua en el cono.

Tendremos, la razón de cambio

dh/dt = (-0.8 m³/s)/(3/75¶ h²) = (-0.8 m³/s)/((3¶ (6)²m²)/75) = (-0.8 m³/s)/(108/75¶ m²) = (-0.8 m³/s)/(4.5239 m²) = - 0.1768388 m/s

Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con una velocidad de . ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de ?

Por lo tanto se tiene.

(d v)/dt = (d v)/dd * (d d)/dt

Tomando la fórmula de la esfera se tiene:

V= 4/3 ¶ r³ sustituyendo el valor de r = d/2

V= 4/3 ¶( d/2 )³ = 4/24 (¶ d³) = 1/6 ¶ d³

La derivada del volumen con respecto al diámetro

(d v)/dd = (d )/dd (1/6 ¶ d³) = 3/6 ¶ d² = 1/2 ¶ d²

Si tenemos

(d v)/dt = (d v)/dd * (d d)/dt despejando, (d d)/dt = ((d v)/dt)/((d v)/dd)

La razón de cambio cuando d = 10 m

(d d)/dt = (0.05 m^3/s)/(1/2 ¶ d²) = (0.05 m^3/s)/(1/2(3.1416)(10)²m² ) = (0.05 m^3/s)/(157.08 m²) = 0.0003183 m/s

Un niño juega con un papalote a que está a una altura de corriendo horizontalmente con una velocidad de . Si hilo que sujeta el papalote esta tenso, ¿a qué razón se afloja cuando la longitud del hilo suelto es de ?

h= 60 H = 25m

Del teorema de Pitágoras se tiene. h² = x² + H²

Por lo tanto x² = h² - H² =˃ x = √(h^2-〖25〗^2 )

dx/dt =d/dt ( √(h^2-〖25〗^2 )) = d/dt (〖h^2-〖25〗^2)〗^(1/2) = 1/2 (〖h^2-〖25〗^2)〗^((-1)/2) * 2h

dx/dt = 2h/(2√(h^2-〖25〗^2 )) = h/√(h^2-〖25〗^2 )

dx/dt = h/√(h^2-〖25〗^2 )

Sustituyendo valores en la siguiente ecuación se tiene:

dx/dt = dx/dh * dh/dt

0.75 m/s = h/√(h^2-〖25〗^2 ) * dh/dt Por lo tanto dh/dt= (0.75 m/s)/(h/√(h^2-〖25〗^2 ))

Si h = 60

(dh )/dt= (0.75 m/s)/((60 m)/√(〖60〗^2-〖25〗^(2 m) ) ) = (0.75 m/s)/(60/(54.543 )) = (0.75 m/s)/(1.100049 ) =

(dh )/dt = 0.68178 m/s

Un helicóptero vuela hacia el norte con una velocidad de a una altura de , en ese instante, el rayo de luz de un faro ubicado en la tierra señala la parte inferior del helicóptero. Si la luz de mantiene señalando al helicóptero, ¿con qué velocidad gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia horizontal de al sur del faro?

H(t)

Donde Ɵ es el ángulo que se forma.

dH/dt = 50 m/s ………………………………………………………………………………ecuación 1

La rapidez de cambio es igual a:

dH/dt = dH/dƟ * dƟ/dt ……………………………………………….....ecuación 2

Se toma tres puntos de referencia el faro el avión y el helicóptero

La tangente de Ɵ = (cateto opuesto)/(cateto adyacente) = (H(t))/h = Ht/70 = (50(t))/70

H(t)= 70 tan Ɵ

ᾳ Ɵ = 70.arco tan Ɵ Si el arco tan = 〖tan〗^(-1)

La derivada es igual a. d/dx 〖tan〗^(-1) u = 1/(1+u²) du/dx u= 70 arco tan Ɵ

dH/dƟ = d/dƟ (70 arco tan Ɵ) = 1/(70 (1+tan^2 Ɵ) ) ………………………….ecuación 3

De la ecuación dos se despeja dƟ/dt se tiene:

dƟ/dt = (dH/dt)/(dH/dƟ) = (50 m/s)/(70(1+tan^2 Ɵ) ) = (5 m/s)/(7(1+tan^2 Ɵ) ) =..…………………………..ecuación 4

Cuando el helicóptero se encuentra a 1500 m la tangente es

1500/70 = 150/7 por lo tanto tan^2 Ɵ = [150/7]²

Sustituyendo la pendiente en la ecuación 4 se tiene.

dƟ/dt = (5 m/s)/(7(1+[150/7]²) ) = 35/22549 = 0.001552175 rad/s

Nota. No entendí bien el problema espero no tenga errores

Dada la función , hallar la ecuación de la recta tangente a dicha

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