Recta tangente a una curva

Tangente proviene del griego «tangens»=que toca.1 La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la curva en el punto dado, el punto de tangencia (se puede decir que «forman un ángulo nulo» en la vecindad de dicho punto). Esta noción se puede generalizar, desde la recta tangente a un círculo o una curva, a «figuras tangentes» en dos dimensiones (es decir, figuras geométricas con un único punto de contacto, por ejemplo la circunferencia inscrita), hasta los espacios tangentes, en donde se clasifica el concepto de «tangencia» en más dimensiones.

Recta tangente a una curva[editar]

Un segmento de recta que tiene un solo punto de contacto con una curva dada, se dice que es la recta tangente a la curva en dicho punto. Si tiene dos puntos de contacto, se llama recta secante.

Partiendo del plano geométrico, podemos considerar los siguientes casos de tangencia:

Construcción Geométrica[editar]

Intuitivamente, la tangente TA es la posición límite de la recta o el límite de las rectas secantes a la curva C, que pasan por los puntos A y Mi cuando se aproximan indefinidamente por M1, M2, M3, M4 ...

Construcción analítica[editar]

Artículo principal: Derivada

Analíticamente, si C representa la gráfica de una función f(x), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)

\frac {f(x) - f(a)} {x - a}

donde a es la abscisa de A y x la de M.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

\lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}

Es, por definición: f'(a), el número derivado de f en a.

Dado el plano x-y, y una función en este plano:

y = f(x)

Cuya derivada sea:

y' = f'(x)

La recta tangente a la función para un valor x1, será la recta que pase por el punto (x1, f(x1)), con una pendiente f'(x1), que es:

y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1)

La recta ortogonal a la tangente TA que pasa por el punto (x1, f(x1)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas cartesianas, viene dada por:

\cfrac {-1} {f'(x_1)}

Su ecuación es:

y = \cfrac{- (x - x_1)}{f '(x_1)} + f(x_1)

siempre que f'(x1) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las secciones cónicas, como por ejemplo: para determinar el foco de una parábola.

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