Recta tangente

La idea de una tangente, en P a una curva, como la recta que mejor se aproxima a la curva cerca de P (Fig.1) es una buena definición, pero aún muy vaga para la precisión matemática. El concepto de límite proporciona una manera de obtener una mejor descripción.

Sea P un punto en una curva y sea Q un punto móvil cercano a P en esa curva.

Considere la recta que pasa por P y Q, llamada recta secante. La recta tangente en P es la posición límite (si ésta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva (véase la figura 3).

Suponga que la curva es la gráfica dela ecuación y= f(x).

Entonces, P tiene coordenadas (c,f (c)), un punto cercano Q tiene coordenadas (c+h, f (c+h)), y la recta secante de P y Q tiene pendiente m sec⁡ dada por: (figura 4)

m "sec" ⁡= (f(c+h)-f(c))/h

Definición Recta tangente

La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P (c.f(c)) es aquella recta que pasa por P con pendiente

m"tan"=〖lim"m" sec⁡ =〗┬(h→0)⁡〖〖lim⁡ 〗┬(h→0) (f(c+h)-f(c))/h〗

siempre y cuando este límite exista y no sea ∞ o -∞.

Supondremos en los siguientes punto que f es derivable en x0, y que admite recta tangente en (x0, y0) donde y0=f(x0).

Ecuación de la recta tangente a una curva

Atendiendo a la ecuación del haz de rectas que pasan por un punto:

[Es el conjunto de rectas que pasan por un punto. Una recta cualquiera y=mx + n del haz deberá verificar y1=mx1 + n. Restando ambas expresiones de deduce la siguiente ecuación, del haz de rectas por P(x1, y1)

y-y1= m(x-x1)

que satisface cualquier recta del haz.]

Se tiene que la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) por el punto (x0, y0) es

y-y"0"=f'(x"0")(x-x"0")

Dado que la pendiente de m de la recta ha de ser f'(x"0")

Ecuación de la recta normal a la curva

Se denomina recta normal a la curva y=f(x) en (x"0," y"0") a la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la recta tangente. La pendiente m’ de la recta normal verifica m^'=-1/m y, en consecuencia, la ecuación de la recta normal a la curva y=f(x) en (x"0," y"0") es

y-y0= - 1/(f^' (x"0" ) ) (x-x0)

EJEMPLO.

Deseamos hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f(x)=x^2 en el punto de abscisa x=3. Como f(3)=9 las coordenadas del punto elegido, son (3,9).

Según (ii) f'(x)=2x, por lo que f^' (3)=6.

Por lo que la ecuación de la recta tangente en (3,9) aplicando la ecuación es:

y-9=6(x-3),

y la ecuación de la recta normal aplicada es:

y-9=-1/6 (x-3).

Fuente:

√ Cálculo Diferencial e Integral (Purcell Varbeg Rigdon,; Editorial P E A R S O N)

√ Matemáticas Básicas (Miguel Alamar P., Vicente Estruch F.;Editorial De la UPV)

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

Un problema geométrico que aparece con frecuencia en ingeniería es el de determinar una familia de curvas (trayectorias ortogonales) que intersecte a una familia dada de curvas en forma ortogonal en cada punto. Por ejemplo, nos dan las líneas de fuerza de un campo eléctrico y queremos determinar la ecuación de las curvas equipotenciales. Considere la familia de curvas descritas por F(x, y)= k, donde k es un parámetro.

Para casa curva de la familia, la pendiente está dada por:

dy/dx=∂F/∂x/ ∂F/∂y

» Recuerde que la pendiente de una curva quesea ortogonal (perpendicular) a una curva dada es justamente el negativo del recíproco de la pendiente de la curva dada. Use este hecho para mostrar que las curvas ortogonales a la familia F(x,y)=k satisfacen la ecuación diferencial

∂F/∂x (x,y)dx- ∂F/∂y (x,y)dy=0

» Use la ecuación diferencial anterior para mostrar que las trayectorias ortogonales a la familia de círculos x^2+y^2=k son justamente las líneas rectas que pasan por el origen (fig.2.10)

» Muestre que las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas xy=k son las hipérbolas x^2-y^2=k (fig.2.11)

Sea F(x,y,C)=0 una familia de curvas planas. Se denominan trayectorias ortogonales de dicha familia a otra familia de curvas planasG(x,y,C)=0, cuyas tangentes cortan ortogonalmente (es decir, son perpendiculares) a las tangentes de las curvas de la primera familia.

El estudio de las trayectorias ortogonales tiene interpes no solo en Física, sino en otras muchas ciencias. Así, en Quimica, al estudiar la corriente plana de un liquido o el flujo de una corriente eléctrica en una lámina plana de un material conductor se prueba que llas líneas de corriente (familia de curvas planas) tienen como traectorias ortogonales a las lineas equipotecniciales . En el estudio de la transmisión del calor, estas líneas equipotenciales se denominan isitermas.

Para obtener las trayectorias ortogonales de una familia de curvas planas se dan los siguientes pasos:

Obtener la ecuación diferencial de la familia, so no se conoce.

Remplazar en ella y' (pendiente de la tangente) por (-1)/y' (pendiente de las rectas perpendiculares a la tangente).

Integrar a ecuación diferencial obtenida, cuya solución general será la familia de trayectorias ortogonales buscada.

Ejemplo: Obtener el conjunto de trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias de centro en el origen.

Paso1: Sea F(x,y,C)=0≡x^2+y^2=cte de la ecuación general de la familia de circunferencias de centro origen. Derivando implícitamente, se tiene 2x+2yy^'=0 es decir, y^'=(-x)/y es la ecuación diferencial de dicha familia.

Paso2: Remplazando en ella y^' por (-1)/y' y operando, se llega a la nueva ecuación diferencial y^'=y/x.

Paso3: La solución general de esta nueva ecuación diferencial, que viene dada por la familia de rectas que pasan por el origen y=ctex, es la familia de trayectorias ortogonales buscada.

Fuente:

√ Matemáticas avanzadas y estadística para ciencias e Ingenierías (Juan C. Benjumea,

Desamparados Fernández T.; Universidad de Sevilla

√ Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera

(R.

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