Pendiente de la recta tangente

Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

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Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

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Ejemplos

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 = 0.

y = −3x + 2

La pendiente de la recta es el coeficiente de la x. m = −3

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

f'(a) = 2a − 5

2a − 5 = −3a = 1

P(1, 2)

y − 2 = −3 (x − 1)y = −3x + 5

Observamos que como la recta es paralela a la dada tiene la misma pendiente.

Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

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Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

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Ecuación de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

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Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1.

f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y − 1 = x y = x +1

Recta normal:

m= 1P(0, 1)

y − 1 = −x y = −x + 1

Aplicaciones físicas de la derivada

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

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Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

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Aceleración instantánea

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

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Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo.

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Ejemplo

El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función e(t) = 3t² - t +1. El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

1. Hallar la ecuación de la velocidad.

v(t)= e′(t) = 6t − 1

2.Hallar la velocidad en el instante t = 0.

v(0)= 6 · 0 − 1= −1 m/s

3.Hallar la ecuación de la aceleración.

a(t) = v′(t) = e′′(t) = 6 m/s2

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