Recta tangente

5.1. Ecuación de la Recta Tangente, Normal e Intersección de Curvas.

Recta tangente

Desde la escuela primaria se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definición no es suficiente para una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a interceptar a la curva en uno o más puntos, además de ser inclinada, horizontal o vertical.

y = x3+1 y = sen x

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto se emplea el concepto de límite

Ecuación de la recta tangente

Sea f una función continua en xo. La ecuación de la recta tangente a la curva en xo es:

i) y = f '(xo) . x + b, si la función es derivable en xo.

ii) x=xo, si la derivada, cuando x tiende a xo por la izquierda y por la derecha, es más infinito (o menos infinito).

1. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a f(x)=x3+1 en xo=0.5.

1. Derivamos la función f '(x)=3x2.

2. Evaluamos la derivada en 0,5, f '(0.5)=mt=0.75.

3. Calculamos la ordenada de xo=0.5 que es yo=f(xo)=1.13.

4. Sustituimos los valores dados en la ecuación de la recta tangente a la curva, es decir en yo=mt xo + b, para obtener b=0.75.

5. Escribimos la ecuación de la recta tangente: y = 0,75 x + 0,75

2. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a y= sen x en xo=pi/2.

1. Derivamos la función y' = cos x.

2. Evaluamos la derivada en pi/2 para obtener mt= 0

3. Calculamos la ordenada de xo=pi/2, que es yo=1.

4. Calculamos la ordenada en el origen de la recta tangente, b=1.

5. Escribimos la ecuación de la recta tangente: y=1

3. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la siguiente curva en el punto de abscisa cero.

1. La derivada

2. Se observa que el dominio de la función es D=R, pero que la primera derivada no está definida en cero.

3. Analizando la derivada cuando x tiende a 0 por la izquierda y derecha se sabe que y' es más infinito en ambos casos, entonces la ecuación de la recta tangente es vertical y su ecuación: x=0

4. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 = 5 en xo= -2.

1. La derivada es y' = -(x/y) (Obtenerla derivando la función implícitamente).

2. La ordenada para xo= - 2 es yo= -1.

3. La derivada evaluada en (-2,1) es mt= - 2.

4. La ordenada en el origen de la recta tangente b= - 5.

5. La ecuación de la recta tangente: y = - 2x- 5

Recta normal

Si se traza una perpendicular a la recta tangente se obtiene la recta normal. Los gráficos muestran la recta tangente y la normal a la curva en un punto dado.

y = x3+1 y = sen x

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Recta normal

La recta normal a la curva en el punto de abscisa xo es la recta perpendicular a la tangente a la curva en el mismo punto.

Pendiente y ecuación de la recta normal

i) Si la pendiente de la recta tangente es mt=f '(xo), la pendiente de la recta normal satisface la relación mt . mn = -1, es decir

y la ecuación de la recta normal:

ii) Si la recta tangente es vertical, la pendiente de la recta normal es mn=0, y la ecuación de la recta normal:

y = f(xo)

5. Cálculo de la ecuación de la recta normal a y=x3+1 en xo=0,5.

1. Derivamos la función, y'=3x2.

2. Evaluamos la derivada en y'(0.5) = mt = 0.75.

...