Tangentes

En esta pr¶actica se presentan dos m¶etodos para calcular la ecuaci¶on de

la recta tangente a una elipse. El primer m¶etodo es puramente algebraico

y hace uso del hecho de que una c¶onica y una recta se intersectan en dos

puntos a lo m¶as: si se conoce el punto de la elipse, entonces falta determinar

la pendiente, la cual se calcula imponiendo la condici¶on de que los puntos

de intersecci¶on coincidan. Esta ¶ultima condici¶on se traduce en igualar cierto

discriminante a cero.

En el segundo m¶etodo (que llamamos pre-c¶alculo) se presentan ya ideas

intr¶³nsecas del C¶alculo, donde la condici¶on de tangencia se obtiene haciendo

tender la abscisa del punto variable a la abscisa del punto dado. La idea se

basa en una factorizaci¶on inteligente de la ecuaci¶on de segundo grado que

se obtiene al sustituir la ecuaci¶on de la recta en la ecuaci¶on de la elipse. Se

dejan varios ejercicios al lector donde se pide generalizar los m¶etodos a otras

c¶onicas incluyendo la c¶onica general.

Considere la ecuaci¶on de una elipse en forma normal

x2

a2 + y2

b2 = 1;

y considere un punto P(x0; y0) sobre la c¶onica. Luego

x20

a2 + y2

0

b2 = 1:

Todas las rectas que pasan por el punto P (x0; y0) tienen ecuaci¶on de la

forma y ¡ y0 = m(x ¡ x0) y todas intersectan a la elipse en al menos un

punto (dos si la recta es secante, uno si la recta es tangente). El problema

es encontrar el valor de la pendiente m para la recta que es tangente en el

punto P (x0; y0).

El m¶etodo algebraico

Los puntos Q(x; y) que son intersecci¶on de la recta que pasa por el punto

P(x0; y0) con la c¶onica, satisfacen el sistema de ecuaciones

x2

a2 + y2

b2 = 1

y ¡ y0 = m(x ¡ x0)

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