Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva

FASE 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

y=1/(x-1)

En el punto (2, 1)

y-y_1=m(x-x_1)

m=dy/dx (2,1)

dy/dx=(((x-1).dy/dx 1)-(1.dy/dx(x-1))/〖(x-1)〗^2 = (-1.(1-0))/〖(x-1)〗^2 =(-1)/〖(x-1)〗^2

Entonces, la pendiente es:

m=dy/dx (2,1)

x→2

m=dy/dx=(-1)/〖(x-1)〗^2 =(-1)/〖(2-1)〗^2 =(-1)/1^2 =-1

Por ecuación de la recta:

y-y_1=m(x-x_1)

y-1=-1(x-2)

y-1=-x+2)

y=-x+2+1

y=-x+3

Si h(x)=x/(√x ) halle el valor de h´´(4)

h^' (x)=x/√x=x/x^(1⁄2)

h´=(h^' (x).x^(1⁄2)-x.h'(x^(1⁄2)))/((x^(1⁄2) )^2 )

h^'=(-x.1/2 x^□(1/2-1))/x

h^'=(-x.1/2 x^(-□(1/2)))/x

h´=(-1/2 x^(1+(-1)/2))/x

h´=(-1/2 x^(1/2))/x

h^'=-(1x^(1⁄2))/2x

h^'=-x^□(1/2-1)/2

h´=x^((-1)⁄2)/2

h''=x^((-1)⁄2)/2

h''=(h^' (x^((-1)⁄2) ).2-(x^((-1)⁄2) ).h'(2))/2^2

h''=((-1)/2 x^(1⁄2-1).2)/2^2

h''=((-1)/2 x^((-1)⁄2).2)/4

h''=((-2)/2 x^((-1)⁄2))/4

h^''=(-1x^((-1)⁄2))/4

h^''=(-1)/(4x^(1⁄2) )=-1/(4√x)

h´´(4)= -1/(4√4)= -1/4(2) =-1/8

f(x)=〖sen〗^2 2x

f´(x)=2 sen 2x.cos⁡ 2x.

FASE 2

f(x)=ln⁡〖X^7 〗/ln⁡〖X^3 〗

f'(x)=((ln⁡〖X^3 〗*(7X^6)/X^7 )-(ln⁡〖X^7*(3X^2)/X^3 〗 ))/((ln⁡〖X^3 )^2 〗 )

f'(x)=((7 ln⁡〖X^3 〗)/X-(3 ln⁡〖X^7 〗)/X)/((ln⁡〖X^3 )^2 〗 )=((7 ln⁡〖X^3 〗-3 ln⁡〖X^7 〗)/X)/(〖ln〗^2 X^3 )

f'(x)=(7ln〖 X〗^3-3 ln⁡〖X^7 〗)/(X 〖ln〗^2 X^3 )

f(x)=x/e^x

f^' (x)=(h^' (x).e^x-x.h'(e^x))/〖〖(e〗^x)〗^2

f^' (x)=(-x.e^x)/e^2x

f^' (x)=-x.e^(x-2x)=-x.e^(-x)

f^' (x)=-x/e^x

Derivadas de Orden Superior.

Hallar la tercera derivada f´(x)=e^x ln⁡X

f^' (x)=f'〖(e〗^x).ln⁡X+e^x.f'(InX)

f^' (x)=e^x.In X+ e^x.1/x

Usando la regla de l’Hopital hallar el límite:

lim┬(X-0)⁡〖(Cos X-1)/(sen X)=lim┬(X-0)⁡〖(-sen X)/cos⁡X =(-sen 0)/cos⁡0 =-0/1=0〗 〗

8. Usando la regla de l’Hopital hallar el límite:

lim┬(X-2)⁡〖(2x+2)/(2x-1)=(2(2)+2)/(2(2)-1)=6/3=2〗

Derivadas Implícitas.

Hallar la derivada con respecto a x de:

d/dx (e^x-e^y )=d/dx (x-y)

d/dx (e^x )-d/dx (e^y )=d/dx (X)-d/dx (y)

e^x-e^y dy/dx=1-dy/dx

e^x-1=e^y dy/dx-dy/dx

e^(x-1)=dy/dx (e^y-1)

dy/dx=(e^x-1)/(e^y-1)

10.

...