Derivadas. La recta tangente a una curva

Derivadas

Origen

El problema de encontrar:

• La recta tangente a una curva
• La velocidad (instantánea) de un objeto

Tangentes

Hallar la recta tangente a una curva y= f(x) en P (a, f (a)) [pic 1]

1. Considerar un punto cercano Q (x, f (x)), con x ≠ a 
2. Calcular la pendiente de la secante PQ,               [pic 2]
3. Aproximar Q hacia P, a lo largo de la curva, haciendo que x tienda hacia a
4. Si  tiende a m, entonces la tangente t es la recta que pasa por P con pendiente m[pic 3]

La recta tangente es la posición límite de la recta secante

PQ cuando Q tiene a P

Definición 

La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P (a, f (a)) es la recta que pasa por P con pendiente

[pic 4]

Siempre que el limite exista

[pic 5]

Si decimos que h = x – a y que x = a + h, entonces la expresión de la recta tangente se convierte en

[pic 6]

Velocidades

Un objeto que se mueve en línea recta, de acuerdo a una ecuación del movimiento s = f (t), donde s es el desplazamiento del objeto respecto al origen, en un tiempo t. La función f que describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. En el intervalo de tiempo t = a hasta t = a + h, el cambio de posición es f (a + h) – f (a). La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es:

  [pic 8][pic 7]

Que es lo mismo que al pendiente de la recta secante de PQ. Ahora al calcular las velocidades promedio en intervalos de tiempo [ a, a + h ] cada vez más pequeños, haciendo que h tienda a 0, se define la velocidad instantánea v(a) en el instante t = a como el límite de estas velocidades promedio    

[pic 9]

Esto significa que la velocidad en el instante t = a es igual a la pendiente de la recta tangente en P

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