5.1 Recta Tangente Y Recta Normal A Una Curva En Un Punto.Curvas Ortogonales

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas

ortogonales.

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.

Si una función posee una derivada en el punto , la curva tiene una tangente en el

punto cuya pendiente está dada por

.

Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es:

. Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la

recta tangente en un punto de una curva es:

.

Recordando que si la recta tangente es horizontal. Si la recta tangente es vertical.

Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es

perpendicular a la recta tangente en él.

La condición de perpedicularidad entre dos rectas cuyas pendientes son y es:

, esto es:

.

Si es la pendiente de una recta tangente y es la pendiente de la recta normal, ellas tienen

que cumplir la condición de perpendicularidad, es decir:

. Usando la derivada nos queda:

.

Ejercicio

Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a la parábola en el punto (2, 3)

y dibuje un segmento de estas rectas.

Solución

La pendiente de la función en el punto (2, 3) se halla encontrando la derivada y evaluando para

:

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente el punto (2, 3) es .

Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:

tangente

normal

2, 3

4 2 2 4

10

5

5

10

15

Asi:

Cuya gráfica correspondiente es:

Para encontrar la recta normal a la curva primero hallamos su

pendiente:

Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo

tenemos:

La gráfica correspondiente a la curva normal es mostrada en la

figura de la derecha.

Ejemplo de uso de software:

y x2 1

punto de

tangencia

y 4 x 5

4 2 2 4

20

15

10

5

5

10

15

Usando el ejemplo anterior graficar la función, la recta tangente, la normal y marcar el punto con

un circulo. A continuación se muestran los comandos a usar en Mathematica.

Ejercicios para practicar en equipo:

Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a las siguientes funciones en el punto

indicado y dibuje estas rectas.

1.

2.

Angulo entre dos curvas

Dadas dos curvas cualesquiera, el ángulo de intersección entre ellas está dado por el ángulo

formado por sus tangentes en el punto de intersección.

El procedimiento para obtener el ángulo de intersección entre dos curvas se sigue el siguiente

procedimiento:

1. Se calculan las coordenadas de los puntos de intersección, resolviendo las ecuaciones

formadas por las funciones.

2. Se derivan las ecuaciones para encontrar las pendientes de las tangentes de las curvas

para cada uno de los puntos de intersección.

3. Se aplica la siguiente expresión para encontrar el ángulo entre dos curvas

.

Ejemplo.

Hallar el ángulo de intersección entre las dos curvas:

...