La derivada como razón de cambio instantánea.

1.2. La derivada como razón de cambio instantánea.

Consideremos una función , sabemos con bajo esta notacion las varibles independiente y dependiente son y , repectivamente. Nuestro objetivo es comparar estas dos variables, para ello definimos la razón de cambio en el intervalo  como:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

Por ejemplo, si consideramos la función  y el intervalo . La razón de cambio es[pic 6][pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

El ejemplo anterior nos muestra como calcular la razón de cambio en un intervalo, ahora  para calcular la razón de cambio en el punto  realizamos las siguientes aproximaciones: [pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Así la razón de cambio tiende a 2, siempre que los extremos del intervalo se aproximen a 1, es decir,

[pic 16]

[pic 17]

Para tener un cálculo exacto tendremos que  recurrir al  siguiente límite:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

De los cursos de cálculo se sabe que la expresión anterior es la derivada de  en .^[1][pic 21][pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

En suma, definimos la razón de cambio instantánea de la función  en el punto como la derivada evaluada en , es decir, .[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

Vamos aplicar el procedimiento anterior a la dinámica^[2] de cuerpos.

 Supongamos  una funcion de la distancia que depende del tiempo. En los cursos básicos de física se define la velocidad promedio como la razón  de la distancia  recorrida  entre el intervalo de tiempo^[3]. Para nuestra función particular, se tiene que la velocidad promedio en el intervalo  es:[pic 34][pic 35]

[pic 36]

Sin embargo, si queremos la velocidad instantánea debemos recurrir a la razón de cambio instantánea, la cual  comprobamos que es la derivada. Por tanto, la función de la velocidad con respecto del tiempo es la derivada de la función de la distancia con respecto del tiempo.

[pic 37]

Por otra parte, una función de la aceleración que depende del tiempo,  requiere que definamos la aceleración promedio la razón entre el cambio de velocidad en el intervalo[pic 38][pic 39]

[pic 40]

Ahora bien, si queremos la aceleración instantánea, no se calcula  el cambio de la velocidad en un intervalo sino solo un punto. Recordemos que la razón en un punto es la derivada en ese mismo punto. Por ende, la función de la aceleración con respecto al tiempo es la derivada  de la velocidad como función con respecto del tiempo.

[pic 41]

Por otro lado, tomando cuenta el teorema fundamental del cálculo^[4], dado que la integral es la anti derivada de una función, es decir, la operación opuesta de la derivada.

Con lo antes mencionado, supongamos las funciones de movimiento, para el caso de la aceleración se puede desarrollar por integración, es decir,

 Implica que [pic 42][pic 43]

La constante   se determina a partir de una condición inicial del movimiento en particular.[pic 44]

De manera similar  

 con lleva a que  [pic 45][pic 46]

2.3 Ejemplos de ecuaciones diferenciales separables

Resolveremos una ecuación diferencial separable

[pic 47]

Vamos a factorizar  de tal manera que se obtenga dos factores  uno  que dependa de  y otro que dependa de [pic 48][pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Llegamos a una ecuación diferencial de la forma.

[pic 52]

Por lo tanto es una ecuación separable, ya que tenemos de un lado la derivada y del otro una multiplicación que separa las variables. Colocamos en el lado izquierdo la variable  y en el lado derecho la variable .[pic 53][pic 54]

[pic 55]

Integramos de ambos lados.

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Agrupamos las constante

[pic 59]

Despejamos la variable dependiente, a saber .[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

Interpretamos esta solución como una familia de funciones que dependen de [pic 65]

[pic 66]

Así, obtenemos  una por cada número real.

 Comprobaremos  que esta familia es solución de la ecuación diferencial original. Para ello sustituimos y  verificamos que satisface la igualdad.[pic 67][pic 68]

[pic 69][pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

Ahora resolveremos la ecuación diferencial

[pic 74]

De tal manera que la solución satisfaga la condición , es decir, buscamos una función  tal que la variable dependiente valga , siempre que la variable independiente sea igual a .Geometricamente esta función pasa por[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

Integramos por ambos lados

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

Agrupamos las constantes

[pic 87]

Sustituimos la condición, en donde haya

3.2 Las Gotas de lluvia

 En la sección anterior estudiamos la caída libre de los cuerpos ignorando la fuerza retadora que presenta el aire. Sin embargo, estos modelos no son adecuados, en particular conducen  a que las gotas de lluvia alcancen velocidades aproximadas a 700 kilómetros, y esto  va en contra de la experiencia.

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