Render cap.2 Modelos de proramación lineal

Render cap.2 Modelos de proramación lineal

- La Programación Lineal (PL) es una técnica de modelación matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores en la planificación y la toma de decisiones relativos a la asignación de recursos

- Pertenece a la esfera más amplia de programación matemática

- En este sentido, programación se refiere a la modelación y solución de un problema matemático

1. Requerimientos de un problema de programación lineal

- Todos los problemas buscan maximizar o minimizar una cierta cantidad (función objetivo)

- La presencia de limitaciones o restricciones que limitan el grado en que podemos alcanzar nuestro objetivo

- Deben haber alternativas disponibles

• El objetivo y las restricciones en los problemas deberán expresarse en términos de ecuaciones lineales y  desigualdades.

2. Supuestos básicos de programación lineal

• Certeza, esto es, se conocen con certeza los coeficientes de las variables en la función objetivo y en las restricciones y se supone que no cambian durante el período en estudio.
• Proporcionalidad, en la magnitud  de la contribución de las variables a la función objetivo y en las restricciones
• Aditividad, el total de todas las actividades es igual a la suma de las actividades individuales, no hay correlaciones entre variables, son independientes.
• Divisibilidad, los valores de las variables en la solución pueden ser números fraccionarios.
• Todas las variables son  no negativas

3. Formulación de problemas de programación lineal

   La formulación de un programa lineal implica el desarrollo de un modelo matemático para representar el problema de gestión

Los pasos en la formulación de un programa lineal son:

• Entender completamente el problema de gestión que se enfrenta
• Identificar los objetivos y las restricciones
• Definir las variables de decisión
• Utilizar las variables de decisión para escribir las expresiones matemáticas de la función objetivo y de las restricciones.

Una de las aplicaciones de PL más común es el problema de mezcla de productos.

En general se producen dos o más productos  utilizando recursos limitados, tales como personal, máquinas, materia prima, etc.

Se busca maximizar la contribución a la utilidad por unidad de cada producto. A la compañia le gustaría determinar cuantas unidades de cada producto debe producir a fin de maximizar la utilidad total considerando la limitación  de sus recursos.

Ejemplo : Mueblería Fernandez[pic 1]

• El objetivo es: Maximizar la utilidad
• Las restricciones son:
• Las horas de carpintería utilizadas no pueden exceder de 240 horas por semana
• Las horas de pintura y barnizado no pueden exceder de 100 horas por semana
• Las variables de decisión son:

   M = número de mesas a producir por semana

   S  = número de sillas a producir por semana

• Crearemos la función objetivo de PL en función de M y S
• Utilidad máxima = $70M + $50S
• Desarrollar las relaciones matemáticas para las dos restricciones
• Para carpintería, el tiempo total utilizado es
• (4 horas por mesa)(número de mesas producidas)+ (3 horas por silla)(número de sillas producidas)
• Sabemos que:Tiempo utilizado en Carpintería ≤   Tiempo disponible en carpintería                                         4M + 3S ≤ 240 (horas de tiempo de carpintería
• Del mismo modo

        Tiempo de pintura y barnizado utilizado ≤ Tiempo disponible de pintura y barnizado

                                                    2 M + 1S ≤ 100 (horas de tiempo de pintura y barnizado)

• Los valores de M y S deben ser no negativos

M ≥ 0 (el número de mesas producidas es mayor que o igual a 0)

S ≥ 0  (el número de sillas producidas es mayor que o igual a 0)

• El problema completo planteado matemáticamente

                                Maximizar Utilidad = $70M + $50S

Sujeto a (S.A)

         4M + 3S ≤        240        (restricción de carpintería)

        2M + 1S ≤        100        (restricción de pintura y barnizado)

        M, S ≥        0        (condiciones de no negatividad)

• La forma más sencilla de solucionar un pequeño problema de LP es con el método      

gráfico.

• El método gráfico sólo funciona cuando hay sólo dos variables de decisión.

Representación gráfica de RESTRICCIONES

[pic 2]

Cuando Fernández no produce mesas, la

restricción de carpintería es:

...