Reporte de actividad1. Convolución

Reporte de actividad1. Convolución.

Marco teórico.

Si,

𝔉

𝑥[𝑛] ↔ 𝑋(𝑒 𝑗𝜔) y

𝔉

ℎ[𝑛] ↔ 𝐻(𝑒          𝑗𝜔), y si 𝑦[𝑛] = ∑∞        𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛][pic 1]

entonces:

𝑌(𝑒𝑗𝜔) = 𝑋(𝑒𝑗𝜔)𝐻(𝑒𝑗𝜔)

Lo anterior quiere decir que la convolución de secuencias implica la multiplicación de sus transformadas de Fourier; también se observa que la propiedad de desplazamiento en el

𝔉

tiempo es un caso especial de este teorema pues: 𝛿[𝑛 − 𝑛𝑑] ↔ 𝑒−𝑗𝜔𝑛𝑑 de tal modo que si

ℎ[𝑛] = 𝛿[𝑛 − 𝑛𝑑], entonces tendremos que 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ 𝛿[𝑛 − 𝑛𝑑] = 𝑥[𝑛 − 𝑛𝑑], y por lo tanto 𝐻(𝑒𝑗𝜔) = 𝑒−𝑗𝜔𝑛𝑑        𝑦        𝑌(𝑒𝑗𝜔) = 𝑒−𝑗𝜔𝑛𝑑𝑋𝑒𝑗𝜔.

Se puede obtener una demostración formal y fácil, del teorema de convolución, aplicando la transformada de Fourier a la señal 𝑦[𝑛] expresada en la siguiente ecuación: 𝑌(𝑒𝑗𝜔) =

𝑋(𝑒𝑗𝜔)𝐻(𝑒𝑗𝜔).

El teorema también lo podemos ver como una consecuencia directa de la propiedad que poseen los exponenciales.

Supongamos un sistema lineal e invariante en el tiempo (SLIT). Si la señal de entrada es x[n], la señal de salida y[n] se calcula a través de la convolución:

∞

𝑦[𝑛] =   ∑ ℎ[𝑘]𝑥[𝑛 − 𝑘]

𝑘=−∞

La señal ℎ[𝑛], que se supone conocida, es la respuesta del sistema al impulso unidad

𝛿[𝑛].

La interpretación gráfica de la suma de convolución es muy sencilla. Para calcular la salida 𝑦[𝑛] en un cierto instante fijo n, primero se dibujan ℎ[𝑘] y la versión "abatida y desplazada" 𝑥[𝑛 − 𝑘] sobre el eje k. En segundo lugar, se multiplican ambas señales para obtener la señal ℎ[𝑘] 𝑥[𝑛 − 𝑘]. Si se suman todos los valores de la nueva señal con respecto a k obtendremos el valor de 𝑦[𝑛]. Estas operaciones tienen que repetirse para cada valor de n.

Aplicaciones.

• En estadística, como un promedio móvil ponderado.
• En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
• En óptica, muchos tipos de “manchas” se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
• En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.
• En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
• En física, allí donde haya un sistema lineal con un “principio de superposición”, aparece una operación de convolución.

Desarrollo.

En esta parte se llevó acabo la elaboración de unos ejercicios de convolución, los cuales se nos fueron otorgados por parte del profesor.

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