Resolución de problemas utilizando logaritmos y exponenciales.

U1. Resolución de problemas utilizando logaritmos y exponenciales.

Actividad 1: A partir de la siguiente lectura, representa los elementos relacionados con las propiedades de las desigualdades y los intervalos, a través de un organizador gráfico. Ejemplifica.

Desigualdades (inecuaciones)

Una igualdad en álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos, es decir, es una afirmación que se realiza a través del signo =, de dos expresiones que son iguales.

Las igualdades algebraicas son:

• Ecuaciones: cuando se cumple la igualdad solamente para determinados valores de la variable

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• Fórmulas: cuando se cumple la igualdad para todos los valores de las variables dependientes.

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• Identidades: cuando el miembro izquierdo es exactamente igual al derecho. También se les llama así a las igualdades que se cumplen independientemente del valor de sus variables.

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• Equivalencias: cuando el miembro izquierdo vale lo mismo que el derecho.

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Cuando dos expresiones matemáticas se comparan, solamente existen dos posibilidades.

1. Que sean iguales entre sí.
2. Que no sean iguales entre sí, es decir, que sean diferentes.

La consecuencia de una comparación que no resulta igual. Si a y b son las cosas comparadas que no resultaron iguales, se escribe a ≠ b. A su vez, cuando dos expresiones comparadas son desiguales, solamente existen dos opciones: que  la primera de ellas sea mayor que la segunda o que sea menor.

La simbología correspondiente es a > b, o bien, a < b, es decir, que al comparar dos objetos matemáticos a y b, solamente existen las siguientes posibilidades.

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Las desigualdades pueden ser:

1. Absolutas: cuando la desigualdad no depende de las variables.

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1. Condicionales o inecuaciones: cuando se cumple la desigualdad solamente para ciertos valores.

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Si resolver una ecuación es encontrar los valores de las variables con los que la relación de igualdad adquiere veracidad, de manera semejante resolver una desigualdad es encontrar los valores de las variables con los que la relación de desigualdad adquiere veracidad. Evidentemente debe tratarse de una desigualdad condicional o inecuación.

Entre la resolución de ecuaciones y de desigualdades se presentan algunas diferencias, como el hecho de que las soluciones de las ecuaciones son valores determinados de las variables, mientras que las soluciones de las desigualdades son intervalos de valores. Algunas otras diferencias aparecerán conforme se adentre en el estudio de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

Las principales propiedades de las desigualdades son:

1. Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta la misma cantidad, la desigualdad se conserva.
2. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, la desigualdad se conserva.
3. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad negativa, la igualdad se invierte.

Es decir, que se cumplen las siguientes reglas, siempre que a, b y c sean números reales.

1. Tricotomía

Se cumple sólo una de las siguientes propiedades:

a < b ó a = b ó a > b

1. Transitividad

Si a > b y b > c → a > c

1. Adición

Si a > b → a + c > b + c

1. Multiplicativa

• Si c > 0, se cumple que:

a > b → a * c > b * c

• Si c < 0, se cumple que:

a > b → a * c < b * c

Clasificación

Una clasificación puede hacerse de diferentes maneras, dependiendo del criterio clasificador que se emplee. Para las desigualdades, los criterios clasificadores que se toman en cuenta son: la ubicación de la variable, el número de variables, el grado y la existencia o no de valor absoluto.

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