Se Aprende Álgebra, parte 1, Trabajo Realizado por Prof. de ESFM

ÁLGEBRA

Parte 1

      El álgebra (del árabe: al-ŷabr 'reintegración, recomposición'). Otro significado que le dan es el de reducción o simplificación. Es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética (Esta estudia los números y las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división). Como lo establece el significado, en el álgebra los números se representan en forma abstracta por letras, ya sean las del alfabeto castellano en sus versiones minúsculas o mayúsculas: [pic 1]; [pic 2] o del alfabeto griego en minúsculas más comúnmente empleadas: [pic 3], que se nombran respectivamente alfa, beta, gama, delta, lambda, teta, psi, fi, pi, eta, omega, epsilon, mu, nu. Toma en cuenta que de éstas la única que tiene un valor universalmente conocido es [pic 4] de aproximadamente [pic 5]. Las operaciones entre estos “números abstractos” pueden formar expresiones muy simples o complejas, llamadas expresiones algebraicas, por ejemplo:

[pic 6]

 Como puedes observar, en las expresiones se emplean algunos símbolos usados en las operaciones básicas de la aritmética: suma o adición [pic 7] “más”, resta o diferencia [pic 8] “menos”, división [pic 9] o [pic 10]”entre”, no es común usar [pic 11], raíz cuadrada [pic 12]. En álgebra se evita usar para la multiplicación el símbolo [pic 13] “por”, para evitar confusión con la equis. Por ejemplo la expresión [pic 14] se interpreta como la multiplicación de 2 con [pic 15]. En algunos casos se usa el punto [pic 16] o el paréntesis ( ) para denotar la multiplicación entre dos o más cantidades, por ejemplo la multiplicación de [pic 17] con [pic 18] y [pic 19] se puede expresar en las formas equivalentes: [pic 20], [pic 21], abc. Otra utilidad del paréntesis es la de agrupar los elementos o términos de una expresión para indicar que forman una sola cantidad mediante las operaciones involucradas como en los ejemplos [pic 22] e [pic 23].

      Hacemos notar que el carácter “abstracto” de toda expresión algebraica está en el valor o valores numéricos que “esconde”, lo que descubrimos si se desea, al reemplazar las letras con números y haciendo las operaciones de acuerdo con las reglas de la aritmética. Por ejemplo si la expresión [pic 24]  reemplazamos [pic 25] con [pic 26] y [pic 27] con [pic 28], obtenemos con la ayuda del signo [pic 29] “igual a”

[pic 30]

Observemos que diferentes valores asignados a [pic 31] y [pic 32] pueden dar el mismo o diferente resultado. Por ejemplo ¿Qué valor numérico dará la expresión si [pic 33] y [pic 34]?

      Como se menciona al principio, el álgebra está enfocada a la forma como se combinan los elementos de ciertas estructuras abstractas y para lo cual se deben seguir ciertas reglas. Algunas de estas estructuras las constituyen los diferentes tipos de números que se agrupan en conjuntos según su naturaleza como a continuación se describen.

      Previamente damos algunas definiciones y operaciones básicas relativas a los conjuntos. Los elementos comprendidos en un conjunto se escriben entre llaves [pic 35] y separados por la coma, por ejemplo si [pic 36] es el conjunto de las vocales, se escribe: [pic 37]. Para indicar que un elemento dado pertenece a un conjunto se usa el símbolo [pic 38] que se lee “pertenece a” o “es elemento de”. Ejemplo [pic 39]. De otra manera si el elemento [pic 40] no pertenece al conjunto [pic 41] se escribe [pic 42]. Para denotar que todos los elementos de un conjunto dado son también elementos de otro conjunto usamos el símbolo [pic 43] que se lee “contenido en” o “es subconjunto de”. Ejemplo si [pic 44] y [pic 45] entonces [pic 46].

Por último las dos operaciones básicas entre dos conjuntos [pic 47] y [pic 48] son: [pic 49]

En el primer caso decimos que el conjunto [pic 50] es igual a la intersección del conjunto [pic 51] con el conjunto [pic 52], de modo que [pic 53] se forma de todos aquellos elementos que son comunes tanto a [pic 54] como a [pic 55]. En el segundo caso decimos que el conjunto [pic 56] es igual a la unión del conjunto  [pic 57] con el conjunto [pic 58]. De manera que [pic 59] se forma con todos los elementos que pertenecen [pic 60] o pertenecen a [pic 61] o bien que pertenecen a ambos. Ejemplo

[pic 62]

Si los conjuntos [pic 63] y [pic 64] no tienen elementos comunes, escribimos  [pic 65], donde [pic 66] denota al conjunto vacío, es decir el conjunto que no contiene elementos. Ejemplo

[pic 67]

      A continuación se definen los diferentes conjuntos de números usa el álgebra. Para denotar algunos de los diferentes conjuntos de números se usan los símbolos: [pic 68], [pic 69], [pic 70], [pic 71], [pic 72], etc

      Números naturales. Este conjunto de números se denota por [pic 73] y es dado como

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