Sistema de coordenadas (referencia, ortogonal)

Sistema de coordenadas (referencia, ortogonal)

Producto Punto

𝐴

∙ 𝐵 = 𝐴

. 𝐵 cos 𝜃𝐴,𝐵

𝐴

∙ 𝐵 = −𝐴𝑥𝑖

+ 𝐴𝑦𝑗

+ 𝐴𝑧𝑘 ∙ (𝐵𝑥𝑖

− 𝐵𝑦𝑗

+ 𝐵𝑧𝑘)

= (−𝐴𝑥) 𝐵𝑥 𝑖 ∙ 𝑖

+ (−𝐴𝑥) −𝐵𝑦 𝑖 ∙ 𝑗

+ (−𝐴𝑥) 𝐵𝑧

𝑖 ∙ 𝑘 + (𝐴𝑦) 𝐵𝑥 𝑗 ∙ 𝑖

+

(𝐴𝑦) 𝐵𝑦 𝑗 ∙ 𝑗

+ … … …

= (−𝐴𝑥) 𝐵𝑥 cos 0 + (−𝐴𝑥) −𝐵𝑦 cos 90 + (−𝐴𝑥) 𝐵𝑧 cos 90 +

(𝐴𝑦) 𝐵𝑥 cos 90 + (𝐴𝑦) 𝐵𝑦 cos 0 + … … …

= (−𝐴𝑥) 𝐵𝑥 + (𝐴𝑦) −𝐵𝑦 + (𝐴𝑧) 𝐵𝑧

Ejercicios Producto Cruz

𝐴

𝑥 𝐵 = 𝐴

. 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐴,𝐵𝑢𝑛

𝐴

𝑥 𝐵 = −𝐴𝑥𝑖

+ 𝐴𝑦𝑗

+ 𝐴𝑧𝑘 𝑥 (𝐵𝑥𝑖

− 𝐵𝑦𝑗

+ 𝐵𝑧𝑘)

= (−𝐴𝑥) 𝐵𝑥 𝑖𝑥𝑖

+ (−𝐴𝑥) −𝐵𝑦 𝑖𝑥𝑗

+ (−𝐴𝑥) 𝐵𝑧

𝑖𝑥𝑘 + (𝐴𝑦) 𝐵𝑥 𝑗𝑥𝑖

+

(𝐴𝑦) 𝐵𝑦 𝑗𝑥𝑗

+ … … …

Análisis Vectorial

𝐴

𝑥 𝐵 = (−𝐴𝑥) 𝐵𝑥 𝑠𝑒𝑛 0𝑢𝑛 + (−𝐴𝑥) −𝐵𝑦 𝑠𝑒𝑛 90𝑘 + ⋯

𝐴

𝑥 𝐵 =

𝑖

𝑗

𝑘

−𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 −𝐵𝑦 𝐵𝑧

= 𝐴𝑦𝐵𝑧 − (−𝐵𝑦)𝐴𝑧

𝑖

− (−𝐴𝑥)𝐵𝑧 − 𝐵𝑥𝐴𝑧

𝑗

+ ((−𝐴𝑥)(−𝐵𝑦) − 𝐵𝑥𝐴𝑦)𝑘

Ejercicios

Youtube: REDES: La pendiente resbaladiza de la maldad

Sistema de coordenadas curvilíneas

𝑆𝑖 𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐴 = 𝑓(𝑟, 𝜃,𝜑)

Coordenadas Esféricas

𝟎 ≤ 𝒓 ≤ ∞

𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅

𝟎 ≤ 𝝋 ≤ 𝟐𝝅

Sistema de coordenadas curvilíneas

Coordenadas Esféricas : Primer cuadrante

𝐴

= 𝐴𝑥𝑖

+ 𝐴𝑦𝑗

+ 𝐴𝑧𝑘

𝐴

= 𝐴𝑟𝑢𝑟 + 𝐴𝜃𝑢𝜃 + 𝐴𝜑𝑢𝜑

Módulo

𝐴𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos𝜑

𝐴𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin𝜑

𝐴𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝐴𝑟 = 𝑥

2 + 𝑦

2 + 𝑧

2

𝐴𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠

𝑧

𝑥

2 + 𝑦

2 + 𝑧

2

= 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛

𝑥

2 + 𝑦

2

𝑥

2 + 𝑦

2 + 𝑧

2

𝐴𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠

𝑥

𝑥

2 + 𝑦

2

= 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛

𝑦

𝑥

2 + 𝑦

2

𝑆𝑖 𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓[𝐴 𝑟, 𝜃,𝜑 ]  𝐴 𝑟, 𝜃,𝜑 = 𝑓[𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 ]

Sistema de coordenadas curvilíneas

Coordenadas Esféricas Dirección

r sen i sen sen j  k

ˆ

cos cos

ˆ ˆ ˆ

       

𝜑

𝜑

𝑟

𝜃

𝜃

𝐶𝑜𝑠𝜃

𝑆𝑒𝑛𝜃

𝑆𝑒𝑛𝜃𝐶𝑜𝑠𝜑

𝑆𝑒𝑛𝜃𝑆𝑒𝑛𝜑

𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑥

𝑦

𝑧

Sistema de coordenadas curvilíneas

Coordenadas Esféricas



ˆ



ˆ

cos

ˆ

 isen  j

𝜑

𝑟

𝜃

𝐶𝑜𝑠𝜑

𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑆𝑒𝑛𝜑 𝜑

𝜑

𝑥

𝑦

𝑧

Sistema de coordenadas curvilíneas

Coordenadas Esféricas

 i  sen j sen k

ˆ ˆ

cos 

ˆ

 cos cos

ˆ

    

𝜑

𝑟

𝜃

𝐶𝑜𝑠𝜃𝑆𝑒𝑛𝜑

𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝜑

𝐶𝑜𝑠𝜃𝐶𝑜𝑠𝜑

𝜑

𝑆𝑒𝑛𝜃

𝜃

𝜃

𝑥

𝑦

𝑧

Sistema de coordenadas curvilíneas

Coordenadas Cilíndricas

𝑆𝑖 𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧  𝐴 = 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧)

𝟎 ≤ 𝒓 ≤ ∞

𝟎 ≤  ≤ 𝟐𝝅

−∞ ≤ 𝒛 ≤ ∞

Deber: pasar a esféricas el módulo y dirección

Cálculo Diferencial

Youtube: Universo Mecánico: Derivadas

Gradiente Vector diferencial

𝛻 =

𝜕

𝜕𝑥 𝑖

+

𝜕

𝜕𝑦 𝑗

+

𝜕

𝜕𝑧 𝑘

Campo (física) : Es aquella que tiene al menos una variable dependiente. Se tiene campo

escalar y vectorial.

Escalar Vectorial

Galileo Galilei

Introdujo: La Cinemática (cálculo diferencial)

(Razón de cambio)

Reglas de la diferenciación: suma, producto y la regla de cadena

René Descartes Gottfried Leibniz Isaac Newton

Cálculo Diferencial

Gradiente de un escalar : Primer cuadrante

𝛻 ∙ 𝐴 =

𝜕

𝜕𝑥 𝑖

+

𝜕

𝜕𝑦 𝑗

+

𝜕

𝜕𝑧 𝑘 ∙ 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝑧

=

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥 𝑖

+

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦 𝑗

+

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑧 𝑘

Aquí todas son

independientes

𝑆𝑖 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑧)

𝛻 ∙ 𝐴 =

𝜕

𝜕𝑥 𝑖

+

𝜕

𝜕𝑥 𝑗

+

𝜕

𝜕𝑥 𝑘 ∙ 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝑧

=

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦 +

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦 𝑗

+

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑧 +

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑧 𝑘

∴ 𝛻 ∙ 𝐴 = 𝑉𝐸𝐶𝑇𝑂𝑅

Cálculo Diferencial

Divergencia : Primer cuadrante

𝛻 ∙ 𝐴

=

𝜕

𝜕𝑥 𝑖

...