Sistemas De Masas Variable

Sistemas de masa variable.

El problema de 2-cuerpos.

§18.1. Sistemas de masa variable (519); §18.2. Fundamentos de la propulsión de los cohetes

(522); §18.3. El problema de dos cuerpos (525); §18.4. Masa reducida (528);

§18.5. Momento angular y energía cinética (529); §18.6. Oscilaciones de dos cuerpos (531);

§18.7. Movimiento en el Sistema Solar (534); Problemas (536)

El contenido y enfoque de la lección precedente tuvo un carácter fundamental, teórico,

abstracto, sin apenas concesiones a los aspectos prácticos. Por eso, consideramos necesario completarla

con esta otra, en la que plantearemos unos problemas de índole práctica, con escasa relación

entre sí, pero que constituyen el complemento natural y necesario de la lección anterior.

§18.1. Sistemas de masa variable.- En la Lección 17 hemos enunciado los

teoremas y leyes generales que gobiernan la evolución de los sistemas materiales.

Son numerosísimos los problemas físicos que pueden resolverse utilizando

adecuadamente los teoremas y leyes de conservación de la cantidad de movimiento,

del momento angular y de la energía. Al decir adecuadamente, queremos significar

que dichos teoremas y leyes deben utilizarse en el contexto preciso en que fueron

enunciados. Así, las leyes de conservación de la cantidad de movimiento y del

momento angular, y los teoremas correspondientes de los que se deducen, pueden

aplicarse a cualquier sistema físico, con tal que se tengan en cuenta todas las fuerzas

y momentos externos que actúan sobre él. La ley de conservación de la energía

mecánica (cinética + potencial) sólo será utilizable cuando todas las fuerzas sean

conservativas, de modo que no haya conversión de energía mecánica a otro tipo de

energía, a menos que podamos valorar el montante de dicha conservación.

En todo caso, destacaremos que los teoremas y leyes de conservación se refieren

a sistemas materiales bien definidos y al utilizarlos hemos de tener sumo cuidado en

precisar que es lo que se incluye en el sistema al cual se aplican. Recordemos que

uno de los supuestos de partida en el desarrollo de la lección anterior (§17.1) fue que

el sistema de partículas considerado debería ser un sistema cerrado, esto es, que no

intercambiaría masa con el exterior (sistema de masa constante), aunque si podría

intercambiar cantidad de movimiento, momento angular y energía con su ambiente

(sistema no-aislado).

Manuel R. Ortega Girón 519

520 Lec. 18.- Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos.

Hasta ahora nos hemos ocupado solamente de sistemas cerrados, en los que la

Figura 18.1

masa del sistema permanecía constante en el transcurso del tiempo. En este artículo

trataremos con sistemas abiertos, que intercambian masa con el exterior, de modo

que su masa variará en el transcurso del tiempo. Así, por ejemplo, cuando una gota

de agua cae en la atmósfera, va recogiendo moléculas de vapor de agua atmosférico

en su caída, de modo que su tamaño y masa (considerada la gota como el sistema)

va aumentando. Otro ejemplo de sistema de masa variable lo constituye un cohete,

cuya masa va disminuyendo a medida que se va quemando el combustible.

Para estudiar en general tales sistemas de masa variable, consideraremos un

sistema, de masa instantánea m, cuyo centro de masa se está moviendo en ese

instante t con una velocidad v en un cierto referencial inercial, y que se encuentra

sometido a una fuerza resultante externa Fext, no representada en la Figura 18.1a. Un

cierto instante posterior, t + dt, la configuración del sistema habrá cambiado, por

haber sido alcanzado dicho sistema por una masa elemental dm que se movía

inicialmente con una velocidad u, medida también en el mismo referencial inercial.

Nuestro propósito primordial es establecer la forma que tomará la segunda ley

del movimiento para el sistema de masa m, siendo m variable en el transcurso del

tiempo. Podemos analizar la situación considerando el sistema global m + dm, que

es un sistema de masa constante al que podemos aplicar sin ambages los resultados

obtenidos hasta ahora. Puesto que el sistema global (m + dm) es de masa constante,

podemos asegurar que para él es

F [18.1] extdt dp

o sea que la impulsión elemental producida por la resultante de las fuerzas externas

al sistema durante el intervalo de tiempo elemental dt es igual al cambio elemental

de la cantidad de movimiento del mismo. Podemos escribir

F [18.2] extdt (m dm)(v dv) (mv u dm) m dv v dm u dm

donde hemos despreciado el infinitésimo de segundo orden dmdv. La expresión

anterior podemos reescribirla en la forma

F [18.3] ext m dv

dt

v dm

dt

u dm

dt

§18.1.- Sistemas de masa variable. 521

o sea F [18.4] ext

d(mv)

dt

u dm

dt

que no es sino la expresión de la segunda ley de Newton, que define la fuerza

externa que actúa sobre un sistema material cuya masa no permanece constante en

el transcurso del tiempo, por estar recibiendo un aporte de masa y, por supuesto, de

cantidad de movimiento desde el exterior.

Debemos reparar en que las ecuaciones anteriores, [18.3] y [18.4], se reducen a los

casos familiares

F [18.5] ext ma Fext

d(mv)

dt

respectivamente, siempre que el sistema que estemos considerando tenga masa

constante; esto es, siempre que no intercambie masa con el exterior ([18.5a]), o incluso

cuando intercambiándola sea u = 0 ([18.5b]).

También deberemos observar que no es posible obtener las expresiones [18.3] y [18.4] a partir

de la [18.5b], considerando la masa variable al efectuar la derivación. En efecto, de [18.5b] se sigue

F [18.6] ext

d(mv)

dt

m dv

dt

v dm

dt

que tan sólo es un caso particular de las expresiones [18.3] y [18.4], correspondiente a la situación

en que u = 0, esto es, cuando la masa que se incorpora o sale del sistema se encuentra en reposo

en el referencial inercial que hayamos elegido.

Para estudiar el movimiento de un sistema abierto (de masa variable) hemos

tenido que recurrir a incluir la masa elemental dm que se aporta (o que se desprende)

al sistema en un sistema global de masa constante. Esto ha sido necesario porque la

expresión

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