SISTEMA DE MASAS

Sistema Masa–Resorte–Amortiguador:

A continuaci´on estudiaremos la din´amica de un sistema compuesto por una

Masa, que se desplaza sobre una mesa lisa (i.e., sin roce) y la cual est´a unida

a una pared, por medio de un resorte y un amortiguador como se ilustra en la

figura. El resorte tiene constante el´astica k y largo natural ℓ0, en tanto que el

amortiguador tiene coeficiente de roce viscoso c. Llamemos x a la posici´on de

la masa M medida desde la pared. Sobre la masa act´uan solo dos fuerzas en la

direcci´on horizontal: la fuerza que ejerce el resorte y la fuerza del amortiguador.

Para peque˜nos desplazamientos con respecto a su largo natural, la fuerza que

ejerce el resorte sobre la masa est´a dada por

Fres = −k(x − ℓ0), (1)

en tanto que la fuerza que ejerce el amortiguador est´a dada por

Fam = −cx˙ . (2)

As´ı, la ecuaci´on de Newton para la masa M est´a dada por

Mx¨ = −k(x − ℓ0) − cx˙ . (3)

En lo que sigue estudiaremos las oscilaciones de este sistema con respecto al

equilibrio est´atico. Para ello, primero determinamos la posici´on de equilibrio

esta´tico, caracterizada por las condiciones x˙ = 0 (i.e., el sistema esta´ en reposo)

y Ftot = 0, i.e., −k(x − ℓ0) − cx˙ = 0. Imponiendo estas dos condiciones,

encontramos de inmediato que la posici´on de equilibrio est´a dada por

xeq = ℓ0. (4)

Nuestro inter´es es determinar las peque˜nas oscilaciones de la masa M con respecto

a la posici´on de equilibrio, para lo cual es conveniente hacer un cambio

de variables. As´ı, intrducimos s ≡ x − xeq = x − ℓ0. De aqu´ı obtenemos de

inmediato que x˙ = s˙ y x¨ = s¨. Reemplazando estas ecuaciones en (3) obtenemos

la siguiente ecuaci´on para la variable s(t),

Ms¨+ cs˙ + k s = 0. (5)

Esta ecuaci´on para s es una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden para

s(t).

Con el objeto de determinar la evoluci´on del sistema, no solo necesitamos

la ecuaci´on (5), sino que adem´as debemos conocer el estado inicial del sistema,

i.e., la posici´on y la velocidad inicial de la masa M, tal como hemos enfatizado

en cap´ıtulos anteriores. En resumen, queremos determinar el comportamiento

de la solucio´n s(t) de (5) dados los valores iniciales para s(0) y s˙(0). Para

ello, usaremos la siguiente estrategia, que fue establecida por Leonardo Euler

(1706–1783) (ver, e.g., [1]). Recordemos que la funci´on exponencial et juega

un papel fundamental en c´alculo, debido a que al derivarla queda igual, i.e.,

det/dt = et. Usando la regla de la cadena, vemos as´ı mismo que dept/dt = pet y

d2ept/dt2 = p2et (si p es una constante). Siguiendo a Euler entonces, intentamos

una soluci´on de la forma

s(t) = ept (6)

1

para la ecuaci´on (5). Usando las propiedades de la funci´on exponencial que

acabamos de describir, vemos que (6) es soluci´on de (5) siempre que tengamos

(Mp2 + cp + k)ept = 0 (7)

para todo t. Como ept > 0, la condici´on anterior implica que p debe ser una

soluci´on de la ecuaci´on de segundo grado

Mp2 + cp + k = 0, (8)

cuyas soluciones est´an dadas por

p1,2 = −

c

2M ±r c2

4M2 −

k

M

. (9)

El tipo de soluciones de la ecuaci´on (8) depende de los valores relativos de los

par´ametros del sistema, M, k y c. Vamos a distingir cuatro casos, los cuales

analizaremos separadamente mas adelante:

i) c2/(4Mk) > 1: en este caso (8) tiene dos soluciones reales negativas distintas,

p1 < p2 < 0.

ii) c2/(4Mk) = 1: en este caso (8) tiene una soluci´on real negativa (repetida),

i.e., p1 = p2 < 0.

iii) c2/(4Mk) < 1: en este caso (8) tiene un par de soluciones complejas conjugadas.

Ambas tienen parte real negativa −c/(2M).

iv) c = 0: en este caso (8) tiene dos solucione imaginarias conjugadas, i.e.,

p1,2 = ±ipk/M.

Salvo en el caso iii), existen pues dos soluciones distintas p1 y p2 de (8). De

este modo, usando la estrategia de Euler, hemos obtenido dos soluciones

s1(t) = ep1t,

y

s2(t) = ep2t

de la ecuaci´on diferencial (5). Como la ecuaci´on (5) es lineal, uno puede comprobar

de inmediato que cualquier combinaci´on lineal de s1(t) y s2(t) tambi´en

es soluci´on. De hecho, si las ra´ıces p1 y p2 son distintas, se puede demostrar que

cualquier soluci´on (i.e., la soluci´on general) de (5) se puede escribir como

s(t) = αs1(t) + βs2(t) = αep1t + βep2t, (10)

en que α y β son constantes (en general complejos). Usando (10) podemos

determinar entonces la soluci´on de nuestro problema original, encontrando valores

apropiados de α y β de modo que (10) satisfaga las condiciones iniciales.

Evaluando (10) en t = 0, obtenemos,

α + β = s(0). (11)

Por otra parte, derivando (10) con respecto a t y luego evaluando en t = 0,

obtenemos,

αp1 + βp2 = s˙(0). (12)

2

Finalmente, podemos resolver el sistema de dos ecuaciones, (11) y (12) para α

y β. Entonces, si p1 6= p2 encontramos,

α =

s˙(0) − p2s(0)

p1 − p2

, (13)

y

β =

s˙(0) − p1s(0)

p2 − p1

, (14)

respectivamente. Reemplazando estos valores obtenidos para α y β en t´erminos

del estado inicial del sistema en (10), podemos finalmente escribir la soluci´on

de nuestro problema (siempre que p1 6= p2), como

s(t) = s(0)

p2ep1t − p1ep2t

p2 − p1

+ s˙(0)

ep2t − ep1t

p2 − p1

. (15)

Usando la regla de L’Hˆopital, podemos incluso obtener la soluci´on de nuestro

problema en el caso p1 = p2. Este caso lo podemos obtener tomando

el limp2!p1 s(t) en la ecuaci´on anterior. Con un poco de cuidado, obtenemos de

inmediato,

s(t) = s(0)(1 − pt)ept + s˙(0)tept, (16)

para el caso en que p1 = p2 ≡ p = −c/(2M).

Una vez que hemos encontrado la soluci´on s(t) al problema de valores iniciales

para el sistema masa–resorte–amortiguador, es conveniente ahora discutir

el comportamiento de dicha soluci´on para distintos valores de los par´ametros

(i.e., para los cuatro casos introducidos anteriormente). Lo que determina el

distinto comportamiento de la soluci´on en estos cuatro casos es el

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