Solución General De Una Ecuación De 2° Grado

Solución general de una ecuación de 2° grado

En la mayoría de las escuelas cuando nos enseñan Álgebra siempre nos mencionan que para resolver una ecuación de 2° grado existen cuatro métodos:

1. Gráfica (aproximado)

2. Factorización Simple

3. Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto

4. Fórmula Cuadrática

Casi siempre nos muestran el método de la Formula Cuadrática al final de este tema. Pero tengo un hijo de 13 años, llamado Roberto que me pidió enseñarle la solución de ecuaciones de 2° grado y le mencione la formula general y él me contesto que solo quería saber ese método. Después cuando ya le di a conocer la fórmula me pregunto que de donde salía dicha fórmula, y me di a la tarea de encontrar el proceso de su obtención y es lo que deseo compartir con ustedes.

Definición de una ecuación de 2° grado o ecuación cuadrática

Una ecuación de 2° grado tiene la forma:

ax2 + bx + c = 0 (1)

con: a, b, c ε Ṟ; a # 0.

Los coeficientes b y c pueden ser nulos, obteniéndose los casos siguientes:

i) ax2 + bx = 0

ii) ax2 + c = 0

Estas son ecuaciones incompletas de 2° grado.

Proceso de obtención de fórmula de una ecuación de 2° grado

Sea la ecuación:

ax2 + bx + c = 0

a) Multiplicando ambos miembros por 4a:

4 a2 x2 + 4abx + 4ac = 0

b) Restando 4ac a ambos miembros de esta ecuación:

4 a2 x2 + 4abx + 4ac – 4ac = -4ac

4 a2 x2 + 4abx = -4ac

c) Sumando b2 a ambos miembros:

4 a2 x2 + 4abx + b2 = -4ac + b2

d) El primer miembro de esta ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, luego se puede descomponer en:

(2ax + b)2 = b2- 4ac

e) Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros de esta última ecuación:

2ax + b = √( b2- 4ac)

Despejando x:

(2)

Una ecuación de 2° grado tiene dos soluciones:

Para obtener la solución de una ecuación cuadrática dentro de los números reales se requiere que el radicando:

b2- 4ac ≥ 0

o lo que es equivalente:

b2 ≥ 4ac

Ejemplo 1. Resolver la ecuación:

x2 - 3x – 10 = 0

Solución:

a = 1, b = -3 y c = -10

Entonces sustituyendo en la formula (1):

Conclusiones

• Considero que las ecuaciones de este tipo deberían enseñarse en Álgebra enseñándoles primero la solución con la formula, incluyendo el proceso descrito en este artículo y después el método gráfico o geométrico.

• El Algebra también debe enseñarse, de acuerdo con mi experiencia, con muchas aplicaciones de la vida diaria de los jovenes, ya sea de secundaria, preparatoria o profesional.

• Espero recibir, sugerencias de todos los que desean mejorar la enseñanza

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