Solución de ejercicios de física

TALLER TRABAJO Y ENERGÍA

FÍSICA MECÁNICA

1. Un trapecio de circo está formado por una barra suspendida por dos cuerdas paralelas, cada una de longitud l. El trapecio permite al actor balancearse en un arco circular vertical (ver figura). Suponga que una trapecista con masa m sostenida de la barra, baja de una plataforma elevada, partiendo del reposo con un ángulo inicial i con respecto a la vertical (ver figura). Suponga que; la talla de la trapecista es pequeña comparada con la longitud l del trapecio, que ella no empuja el trapecio para balancearse más alto, y que la resistencia del aire es despreciable.

a) Muestre que cuando las cuerdas forman un ángulo  con respecto a la vertical, la trapecista debe ejercer una fuerza para mantenerse firme:

b) Determine el ángulo inicial si en la parte más baja la fuerza es 2mg.

Solución.

a) A continuación se ilustra un diagrama general de la situación.

De la figura a) se tiene que con respecto al nivel de referencia (NR), la energía mecánica asociada al trapecista en los puntos P y Q son:

y

Pero en este caso

y

Luego al sustituir las ecuaciones (3) en (1) y (4) en (2) se tiene que:

Como la energía se conserva, entones la energía del sistema en P debe ser igual a la energía en el punto Q; esto es:

De donde se tiene que:

De la figura b) y el diagrama de fuerza en el punto Q se tiene que:

Luego al sustituir la ecuación (7) en (8) y resolver para F se obtiene el siguiente resultado.

Donde finalmente se tiene que:

b) Cuando el trapecista está en la parte más baja se tiene que =0° y F=2mg, por lo que al sustituir en la ecuación (9) se tiene lo siguiente:

ó

2. Una varilla rígida ligera mide 77cm de largo. Su extremo superior hace pivote en un eje horizontal de baja fricción. La varilla cuelga en línea vertical en reposo con una pequeña bola unida a su extremo inferior. Una persona golpea la bola, dándole de pronto una velocidad horizontal de modo que oscila alrededor en un círculo completo. ¿Qué rapidez mínima se requiere para hacerla llegar a la parte superior?

Solución.

Un diagrama general de la situación se ilustra a continuación.

Con respecto al nivel de referencia (NR) mostrado en la figura se tiene que la energía inicial del sistema es:

Mientras que cuando la bola alcanza la parte más alta de la curva la velocidad se hace cero y por tanto la energía mecánica asociada al sistema es netamente potencial; esto es:

Como la energía mecánica se conserva, entonces:

Esto es:

De donde se tiene que:

Como L=77cm=0.77m y g=9.8m/s2, entonces la rapidez mínima que se requiere es:

3. El coeficiente de fricción entre el bloque de 3.00 kg y la superficie de la figura es de 0.4. El sistema inicia desde el reposo. ¿Cuál es la velocidad de la bola de 5 kg cuando ha caído 1.5m?

Solución.

Una ilustración general del problema se muestra a continuación.

De la figura mostrada podemos inferir la ecuación de ligadura asociada al sistema de masas unidas por una cuerda. Si suponemos que la cuerda es inextensible y de longitud L, entonces se tiene que:

Donde d es la distancia fija desde el extremo de la superficie horizontal al centro de la polea y R es el radio de la polea. Al derivar esta expresión con respecto al tiempo se tiene la relación entre las velocidades de cada masa; esto es:

ó

Con respecto al nivel de referencia (NR) mostrado en la figura y debido a que el sistema parte del reposo, la energía inicial del sistema se debe únicamente a la masa m2; esto es:

Finalmente cuando la masa m2 ha descendido una distancia h, la masa m1 también ha recorrido sobre la superficie horizontal una distancia h y ambas masas en ese momento tiene una velocidad v, por lo que la energía final del sistema con respecto al nivel de referencia escogido y que se muestra en la figura es:

Debido a la presencia de la fuerza de fricción, la cual es una fuerza no conservativa, la energía mecánica del sistema no se conserva y por tanto el cambio en la energía mecánica es igual al trabajo hecho por la fuerza externa. En este caso la fuerza externa que hace trabajo sobre el sistema es la fuerza de fricción.

Como la fuerza de fricción se opone al movimiento de m1 sobre la superficie horizontal, entones el trabajo realizado por esta fuerza al desplazarse la masa m1 una distancia h es simplemente igual a:

Al sustituir (4) en (3) se tiene:

Pero por definición de la fuerza de fricción cinética se tiene en este caso que:

Donde  es el coeficiente de fricción cinético entre la superficie horizontal y m1 y N es la normal realizada por dicha superficie a la misma masa. Pero la masa m1 no tiene movimiento vertical por lo que la normal esta compensada por el peso de la masa en todo momento, es decir:

Luego al sustituir la ecuación (6) en (5) se tiene que:

Final mente al sustituir las ecuaciones (1), (2) y (8) en (5) se tiene lo siguiente:

Resolviendo para v se tiene que:

Al sustituir las condiciones iniciales del problema, es decir m1=3Kg, m2=5Kg, =0.4, h=1.5m y g=9.8m/s2 se tiene finalmente que:

4. Un muchacho en una silla de ruedas (masa total 47Kg) gana una carrera contra un competidor en patín. El muchacho tiene una rapidez de 1.4m/s en la cresta de una pendiente de 2.6m de alto y 12.4m de largo. En la parte más baja de la pendiente, su rapidez es de 6.2m/s. Si la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento se pueden modelar como una fuerza constante de fricción de 41.0N, encuentre el trabajo realizado por el al empujarse hacia adelante en sus ruedas al viajar cuesta abajo?

Solución.

La situación general del problema se ilustra en la figura

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