Suma Cuadrados pérfectos

Un número cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número entero que es el cuadrado de algún otro; dicho de otro modo, un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3.

32 = 9

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina número libre de cuadrados.

Contenido

1 Propiedades

2 Ejemplos

3 Cuadrados siguientes y anteriores a otro

4 Cuadrados como sumas

5 Números cuadrados impares y pares

6 Teorema de Chen

7 Véase también

8 Referencias

9 Bibliografía

10 Enlaces externos

[editar] PropiedadesEl número m es un cuadrado perfecto si se pueden «ordenar» sus puntos en una figura cuadrada:

La fórmula más general para el n-ésimo número cuadrado es n2. Este resultado es también igual a la suma de los primeros n números impares, tal y como puede verse en

como puede ser visto en las ilustraciones superiores, donde un cuadrado resulta de los anteriores mediante la adicción de un número impar de puntos (marcado con una '+'). De esta forma, por ejemplo se tiene que: 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro perfectos cuadrados. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.

Un número cuadrado puede ser terminado en los dígitos 00,1,4,6,9, o 25 en base 10, como sigue:

1.Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente dígitos deben ser también un cuadrado.

2.Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro.

3.Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par.

4.Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por su precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro.

5.Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser impar.

6.Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56.

[editar] Ejemplos12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

Los primeros 50 cuadrados perfectos son:

02 = 0 ((sucesión A000290 en OEIS))

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 = 100112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

162 = 256

172 = 289

182 = 324

192 = 361

202 = 400212 = 441

222 = 484

232 = 529

242 = 576

252 = 625

262 = 676

272 = 729

282 = 784

292 = 841

302 = 900312 = 961

322 = 1024

332 = 1089

342 = 1156

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369

382 = 1444

392 = 1521

402 = 1600412 = 1681

422 = 1764

432 = 1849

442 = 1936

452 = 2025

462 = 2116

472 = 2209

482 = 2304

492 = 2401

502 = 2500

512 = 2601

[editar] Cuadrados siguientes y anteriores a otroPuede calcularse un cuadrado a partir del anterior o del anterior cuadrado par/impar respecto de uno dado.

La distancia entre un cuadrado y el siguiente, resulta de sumar al cuadrado primero, 2 veces el lado del siguiente y restarle 1: Si para 42 = 16, para 52 = 42 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25

Ejemplos:

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