TASA DE CAMBIO PROMEDIO

TASA DE CAMBIO PROMEDIO[pic 4]

La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a  x+Δx se define por la razón Δy/Δx. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es

Ay        f(x + Ax) — f(x)

=[pic 5][pic 6]

Ax        Ax

Nótese que [x, x + Ax] ⊂ Dom(f).

EJEMPLO 1 (Costo, Ingresos y Utilidades) Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por

C(x) = 20 000 + 40x

dólares y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está dado por

R(x) = 100x - 0.01x2.

La compañía actualmente produce 3 100 toneladas por semana; pero está considerando incrementar  la  producción a 3 200 toneladas por semana.

1.-Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad.

2.-Determine la tasa de  cambio  promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.

Solución:

1.1-   AC = C(x + Ax) —  C(x)

ΔC = C(3100 + 100) — C(3100)

= C(3 200) — C(3100)

= 148000 — 144000 = 4000

1.2.-   AR = R(x + Ax) —  R(x)

ΔR = R(3100 + 100) — R(3100)

= R(3 200) — R(3100)

= 217600 — 213900 = 3700

1.3.- Utilidad = U(x) = R(x) - C(x)

= 100x  — 0.01x2 — 20000 — 40x

U(x) = 60x — 0. 01x2 — 20000 AU = U(x + Ax) — U(x)

= U(3100 + 100) — U(3100)

= U(3200) — U(3100)

= 69 600 — 69 900

= —300

La utilidad  decrece en 300.

AU        U(x+Ax)–U(x)

2.-       =[pic 7][pic 8]

Ax        Ax

ΔU        300

= —        = —3[pic 9][pic 10]

Δx        100

De modo que la utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada con el incremento dado en la producción.

[pic 11][pic 12]

Ejercicios desarrollados 11-1

(1-8) Determine los incrementos de las siguientes funciones para los intervalos dados.

1.-  f(x) = 2x+7; x = 3, Δx = 0.2

Solución:

Δy=f(x+Δx)-f(x)

=2(x+Δx)+7-(2x+7)

=2x+2Δx+7-2x-7

=2Δx

❖  Δy=2(0.2)=0.4

2.-        f(x) =  2x2   +  3x  —  5;  x =  2, Ax = 0. 5

Solución:

Δy=f(x+Δx)-f(x)

=2(x+Δx)2+3(x+Δx) – 5 – (2x2  + 3x – 5)

=2x2+4xΔx+2(Δx)2+3x+3Δx–5–2x2-3x+5

=2(Δx)2+4xΔx+3Δx

500

Δp = 2000 +                − (2000 1 + (t + Δt)2[pic 13]

500

+        )[pic 14]

1 + t2

500

Δp = 2000 +                − (2000 1 + (t + Δt)2[pic 15]

500

+        )[pic 16]

1 + t2

❖   Δy=2(0.5)2+4(2)(0.5)+3(0.5)=6

3.- g(x) = x  –4 ;  x = 1,  Ax = 2[pic 17][pic 18]

x–2

500

Δp =[pic 19]

1 + (t + Δt)2

500

500

−[pic 20]

1 + t2

500

Solución:

Δp =        −

1 + (2 + 1)2        1 + 22[pic 21][pic 22]

Δy = g(x+Δx)-g(x)

2        2

Δp =

500

−[pic 23]

10

500

5[pic 24]

= −50

Δy = (x+6x) –4 − s –4[pic 25][pic 26]

(x+6x)–2        x–2

2        2

❖   Δp = −50

Δy = (1+2)  –4 − 1  –4

(1+2)–2[pic 27][pic 28]

1–2

6.- h(x) = ax2 + bx + c; x a x + Ax

Solución:

❖   Δy = 5 − 3 = 2

4.- f(t) = 900 ; t = 25,  At = 5[pic 29]

t

Solución:

Δf = f(t+Δt)-f(t)

Δh = h(x+Δx)-h(x)

Δh = a(x + Ax)2  + b(x + Ax) + c

− (ax2  + bx + c)

Δh = a(x2  + 2xAx + (Ax)2) + bx

Δf =

Δf =

900

−[pic 30]

t + At

900

−[pic 31]

25 + 5

900

t[pic 32]

900

25[pic 33]

+ bAx + c − ax2  − bx

• c

Δh = ax2  + 2axAx + a(Ax)2  + bx

+ bAx + c − ax2  − bx

• c

[pic 34]

❖   Δf = 30 − 36 =  −6

...