TRABAJO PRÁCTICO DE ÁLGEBRA TEMA: DIVISIBILIDAD

TRABAJO PRÁCTICO

DE ÁLGEBRA

TEMA: DIVISIBILIDAD

PROFESORA: LIZARAZU, NANCY

CURSO: 3°1°

PROFESORADO: MATEMÁTICA

ALUMNAS: BARJA, GLORIA

SÁNCHEZ, MARÍA FERNANDA

AÑO LECTIVO: 2016

DIVISIBILIDAD

La palabra divisibilidad, en matemáticas, se refiere a la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que han de tener los números para ser divisibles por otros, es decir, que se puedan dividir exactamente. Este concepto es muy antiguo y surgió cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas entre varios.

El reparto, unas veces, era igual para todos (se obtenía un número exacto de cosas para cada uno), y otras veces no era igual, dependiendo de que el número de cosas a repartir se pudiera dividir, exactamente, entre el número de los que iban a recibir esas cosas.

DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS ENTEROS

Llamaremos ℕ al conjunto {1,2,3,.......} de números naturales y ℤ al conjunto {….,-3,-2,-1,0,1,2,3,....} de números enteros.

Este último conjunto es cerrado para la suma, el producto y para la formación de inverso aditivo.

CONCEPTO DE DIVISIBILIDAD:

Si a y b  son números enteros, diremos que a divide a b si y sólo si existe un número entero c tal que b=ac. En tal caso utilizaremos la notación a|b.

A menudo nos referimos a la situación anterior empleando las expresiones alternativas “a es un divisor ó factor de b” ó “b es un múltiplo  de a”. Por ejemplo, 12 es un divisor de 252, pues 252=12x21, y 252 es un múltiplo de -7, ya que 252=(-7)x(-36).

• La notación a|b indica una relación entre a y b, y no una operación entre ambos. Sin embargo, esta conectada con una operación. En efecto, si b=ac y a≠0, sigue que c=b/a. Por lo tanto, la relación de divisibilidad puede expresarse en los siguientes términos: a divide a b si y solo si el número racional b/a es entero.
• Si a es cero, es claro que su único múltiplo es el cero. En caso contrario, a admite infinitos múltiplos.
• Todo entero no nulo b tiene un número finito de divisores. En efecto, si a|b y b=ac, es claro que c es distinto de cero. Considerando entonces los valores absolutos, tenemos: |a|≤|a||c|=|b|, pues |c|≥1. Esto claramente prueba nuestra afirmación, ya que hay un número finito de enteros cuyo módulo es menor o igual que |b|.
• Si a|b, sigue inmediatamente de la definición que a|-b, -a|b y -a|-b
• Todo número b es múltiplo de 1, ya que b=1xb.

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Una breve descripción del algoritmo puede ser la siguiente: se trata de aproximar de la mejor manera posible a b por un múltiplo de a. La diferencia entre b y dicho múltiplo es lo que llamamos resto de la división, que será nulo exactamente en el caso en que b sea múltiplo de a.

TEOREMA DE LA DIVISIÓN ENTERA:

Siendo a un número natural, la secuencia 0,a,2a,3a,.... de múltiplos no negativos de a es estrictamente creciente; luego, alguno de ellos será mayor que b, y siempre podremos elegirlo de tal manera que el anterior no supere a b (por el principio de la buena ordenación de los números naturales). Esto es, existe un número no negativo tal que qa≤b<(q+1)a. Observemos que hemos ubicado a b entre dos múltiplos de consecutivos de a. Puesto que dos múltiplos consecutivos de a difieren en a, es claro entonces que la diferencia b-qa (que designaremos por r) es menor que a. En resumen, quedan determinados dos enteros q y r verificando las dos siguientes condiciones:

b=qa+r

0≤r

Concretamente, qa es el múltiplo de a más cercano a b entre los que son menores o iguales que b.

Para finalizar la demostración del teorema, veamos que q  y r  son los únicos enteros que verifican las dos condiciones anteriores. Supongamos para ello que (p,s) es otro par de enteros que satisfacen dichas condiciones, es decir, b=pa+s, siendo s alguno de los números 0,1,2,.......,a-1. Si fuera por ejemplo p>q, restando las dos igualdades obtenemos:

0=(p-q)a+(s-r),

o sea:

(p-q)a=r-s.

En consecuencia, r-s es positivo y además es un múltiplo de a. Pero por otro lado, r-s≤r, lo que obviamente no es posible. Concluimos entonces que q y p deben ser iguales, de lo que sigue inmediatamente que también lo son r y s.

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