TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 TEMA: RELACIONES

TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 TEMA: RELACIONES

1) a) ¿Qué es una relación?

b) ¿Qué se necesita para definir una relación y cómo se la puede definir?

2) a) Ejemplifica las distintas maneras que existen para representar una relación.

b) ¿A qué llamamos relación inversa? Haz un ejemplo.

3) a) ¿Qué diferencia hay entre conjunto de partida y dominio de la relación?

b) Escribe cómo es la representación, en el plano cartesiano, de los conjuntos, teniendo en cuenta el conjunto numérico al cual pertenecen sus elementos.

4) Sean los conjuntos A = números naturales que no son primos ni compuestos

B = x / x  N  x  3 y la relación R: A  B/ ... es menor que ...

a) ¿Cómo está definida la relación? ¿Por qué?

b) Identifica el conjunto de partida, el conjunto de llegada, el dominio y el condominio.

5) Dado el conjunto N = 3,6 

Escribe algunas de las relaciones que pueden existir entre esos números.

6) Dados los conjuntos C =  x / x  N  x  4; D = 3,4,5  y la relación

R1 C x D / (x,y)  R1  x + y = 6

a) Define por comprensión el conjunto D.

b) Escribe como se lee la simbología referida a esta relación en particular.

c) Define la relación por extensión.

d) Representa el producto cartesiano y la relación en un sistema de ejes.

e) Determina en símbolos, la relación inversa, indicando conjunto de partida y de llegada.

7) En E = x / x  Z x< 3= [-2,-1,0,1,2] se considera la relación R2 = (x,y)  E2 / y – x  – 1

a) Traduce al lenguaje coloquial la relación y el conjunto E.

b) Representa el producto cartesiano en el plano.

R2 = (x,y)  E2 / y – x  – 1 o R2 {(x,y)/y- x<-1} R2E2

c) Arma la tabla con los valores que puede tomar x teniendo en cuenta el conjunto de partida de la relación.

x Y<x-1

-2 -3

-1 -2

0 -1

1 0

2 1

x Y=x-1

-2 -3

-1 -2

0 -1

1 0

2 1

d) Los puntos obtenidos ¿pertenecen a E2? Justifica la respuesta. Márcalos con un color en el plano donde representaste el producto cartesiano. ¿Cómo están ubicados estos puntos? ¿Por qué?

Están alineados porque pertenece a la primera potencia.

e) Considera ahora la inecuación que relaciona los elementos del producto cartesiano e indica V o F. Justifica.

(0,0)  R2 (– 1,2)  R2 V (– 2,0)  R2 F (2, – 2)  R2 V

8) Considera la relación R3  Q2 / y –x2 = 2 x. Representa en el plano la relación.

Q= racionales

9) Considera la relación R4  R2 / y + 2 x2 – 2 x  7,5

a) representa en el plano la relación.

b) Escribe en forma simbólica la relación inversa.

10) Considera la relación R5  R2 / y + 1,5 x = – l ¾

a) representa en el plano la relación.

b) ¿Puedes escribir las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a esta relación? Justifica la respuesta.

11) Dado el conjunto A = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, define por extensión las relaciones definidas en A2:

R1 =  (x,y) / x – y = 2

R2 =  (x,y) / y + x = 10

R3 =  (x,y) / x : y = 2

R4 =  (x,y) / y . x = 24

12) Escribe la definición y cómo se reconoce gráficamente que los elementos de una relación cumplen con las propiedades y expresar simbólicamente:

a) reflexiva R si solo si para todo X perteneciente a A se verifica que el par ordenado x/x pertenece a la relación. R↔

b) arreflexiva

c) no reflexiva

13) a) Indica qué propiedades debe cumplir una relación para que sea de orden.

b) ¿Qué permite hacer una relación de equivalencia con los elementos de un conjunto?

14) Teniendo en cuenta la siguiente tabla:

Animal Velocidad en km/h

Caracol 0,0054

Mosca 18

Tortuga 0,072

Liebre 65

Águila 86

Pez 3,6

Establecemos la R: ... es tanto o más rápido que... ¿es de orden? Justifica la respuesta.

Es de orden. Primero el águila la liebre mosca pez. Orden Amplio. Reflexiva, anti simétrica, transitiva.

15) Dado el conjunto: A = Buenos Aires, Madrid, Bogotá, Niza, Moscú, Tokio, Nápoles

y las relaciones R1 y R2 definidas en A x A:

R1: ... está más al sur que... es de orden R2: ... pertenece al mismo continente que... de equivalencia

a) Define las relaciones por extensión.

b) Grafica las relaciones en dos diagramas distintos.

c) Indica con una x qué propiedades cumplen

Propiedades R1 R2

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Antisimétrica

d) Indica V o F. Justifica

R1 es de equivalencia F

R1 es de orden V

R2 es de equivalencia V

R2 es de orden

16) Completa con las flechas que faltan para que sea una relación de equivalencia:

17) En el conjunto de los números reales, x  y  x2 – x = y2 – y

a) Demuestra que es de equivalencia.

b) Determina, por comprensión, las clases de equivalencia.

c) Escribe un conjunto de índices.

d) Utilizando la simbología que corresponde, escribe el conjunto cociente.

e) Representa la relación.

f) Indica V o F. Justifica.

f.1) 1  2 F se reemplaza con X≈Y ↔X²-X= Y²- Y

f.2) 4  K12 F

18) Sea A = 2, 3, 6, 9, 12, 36 y la relación R:... es divisor de... definida en A2

a) Expresa la relación por extensión.

b) Represéntala en el diagrama de Hasse.

c) Clasifica la relación, demostrando las propiedades.

19) Sean las relaciones, R: Z  Q/ R(x) = 2/3 x  S: Q  Q/ S(x) = x + 1

a) Halla la fórmula de la composición, especificando dominio y codominio.

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