TRAYECTORIAS ISOGONALES

TRAYECTORIAS ISOGONALES

Objetivo. Dada una familia de trayectorias descrita por una ecuación, el alumno construirá y resolverá la ecuación diferencial de una familia de trayectorias isogonales [pic 1] y la representará geométricamente.

Software: Derive 6

Integrantes por equipo: 4

Forma de reporte: Impreso

Valor de la práctica:  10 % de la calificación del parcial.

Evaluación:  La práctica será evaluada al 100% bajo la siguiente ponderación:

                20 % Letra legible, orden y puntualidad en la entrega.

                40% Procedimiento

                40% Resultados

Introducción.

Definición 1. (Pendiente de una curva) Si f es una función continua en un punto [pic 2] de su dominio, la pendiente de f es la pendiente de la recta tangente en [pic 3], es decir,  f  tiene la misma pendiente que la recta tangente en el punto.  

Definición 2. (Ángulo entre curvas) Si dos curvas representadas por las funciones f y g se cortan en un punto P de su dominio, el ángulo entre las curvas es el ángulo que forman las rectas tangentes a f y g en P.

[pic 4]

Figura. El ángulo [pic 5] es el ángulo entre las funciones f y g.

Definición 3.  (Trayectorias isogonales).

1. Dada una familia de curvas f(x, y, c) = 0, existe otra familia g(x, y, c) = 0 que corta a la familia f bajo un mismo ángulo γ. A la familia g se le llama la familia de trayectorias isogonales de f  y  g(x, y, c) = 0 es solución de la E.D.:

[pic 6]

1. En particular, cuando γ = 90°, a g se le llama la familia de trayectorias ortogonales de f y en este caso g es solución de la E.D.:

        [pic 7]        (1.2)

[pic 8]

1. Deducción del modelo

1. Empleando conocimientos de trigonometría y las definiciones anteriores, deduce la ecuación (1.1) argumentando cada paso del proceso.

1. Trayectorias ortogonales

1. Emplea Derive para trazar la familia de trayectorias dada por la ecuación [pic 9] donde  c es una constante con valores enteros en el intervalo [pic 10].

INSERTAR IMAGEN

1. Encuentra la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de [pic 11]

1. ¿Qué tipo de ecuación diferencial se genera?______________________________

1. Desarrolla la solución de la ED  llamando k a la constante de integración.

DESARROLLO

1. A partir de la solución construye la familia de soluciones para [pic 12] en la misma ventana donde se graficó la primera familia.

INSERTAR GRAFICA

1. Observa que las curvas se cortan entre sí. ¿Qué ángulo existe en cada punto de intersección entre ambas curvas?____________________________________

1. ¿Existirá un punto de intersección entre dos curvas cualesquiera, una en una familia y la otra en otra familia, donde el ángulo de intersección sea distinto a los demás ángulos de intersección?___________ Explica_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Trayectorias isogonales.

1. Considera la familia de círculos concéntricos dada por la ecuación [pic 13], donde [pic 14] es una constante positiva. Dibuja 5 miembros de la familia.

1. Construye la ED de la familia de trayectorias isogonales con las circunferencias tal que el ángulo de intersección entre miembros sea de 60°.

1. ¿Qué tipo de ED resulta?___________________________________________

1. Encuentra el miembro de la familia que pasa por el punto  [pic 15].

1. Traza la gráfica de esta curva sobre las circunferencias.

Insertar imagen

1. Relacionando con otras disciplinas

1. En un campo electrostático, ¿A qué se le denominan líneas de fuerza?

1. Las curvas equipotenciales de un determinado campo electrostático se puede aproximar por las elipses  [pic 16]. Encuentre las líneas de fuerza.

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