Tanque Con Ecuaciones Diferenciales

Un recipiente en forma de cilindro circular recto tiene un diámetro de 4 pulgadas. Se llena de agua hasta una altura de 50 cm. En la base posee un orificio de 1 pulgada de diámetro. Se desea calcular el tiempo necesario para vaciar completamente el recipiente.

Convirtiendo los datos dados obtenemos:

A= 0.008107 m^2

B= 0.000506 m^2

h= 0.50 m

g= 9.8 m/s^2

Consideraremos:

Cantidad de agua que sale por el orificio= cantidad de agua que desciende en el cilindro.

El volumen que bajó en el cilindro es v=A ∆h (con signo negativo por ser decrecimiento).

El volumen que sale por el orificio es v=B∆m , donde ∆m es la distancia que recorre el agua durante ∆t segundos si el chorro saliera horizontal.

v= dm/dt es la velocidad instantánea de la caída del líquido.

Tomaremos v= √2gh en condiciones iniciales (masa del agua = su energía cinética), suponiendo que no hay perdida.

La primera ecuación es: -A ∆h=B∆m.

Como la variación de la altura es con respecto al tiempo, dividimos entre ∆t:

-A ∆h/∆t=B ∆m/∆t

Cuando ∆t →0

Tenemos: -A dh/dt=B dm/dt

Por tanto: -A dh/dt=Bv (consideración 4)

Y: -A dh/dt=B √2gh

Resolviendo por variables separables:

-A dh/√h=B √2g dt

Integrando obtenemos:

-A 2 √h=B√2g t +C

Despejando:

√h=(B √2g t)/(-2 A) +C

Sustituyendo condiciones de t=0 y h= 0.5 m. Obtenemos que:

C= √0.5

Por lo tanto:

√h=(B √2g t)/(-2 A) +√0.5

Ahora sustituimos las condiciones del tanque vacío, es decir, con h=0:

0=(0.000506)(√((2)(9.8)))t/(- 2 (0.008107))+ √0.5

Obtenemos:

-√0.5=-0.1381 t

Por lo tanto:

t=5.12 s

Entonces el tanque se vaciará en 5.12 segundos.

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