DETERMINACON DEL TIEMPO DE EFUSION DE UN TANQUE CON AGUA A TRAVES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DETERMINACON DEL TIEMPO DE  EFUSION DE UN TANQUE CON AGUA A TRAVES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DIARLING AHUMADA RODRÍGUEZ e-mail: dahumada3@cuc.edu.co MELKIS GIL REALES

e-mail: mgil4@cuc.edu.co

LUZ MONTERROSA VARGAS e-mail: monterr1@cuc.edu.co KEVIN VALDEZ BERROCAL

e-mail: kvaldez1@cuc.edu.co

DIEGO REY CASTRO

e-mail: drey2@cuc.edu.co

Resumen: El presente   proyecto de investigación pretende mostrar cómo influyen las ecuaciones diferenciales lineales en la ingeniería. Para ello, se realizó la determinación del tiempo en el que un tanque o cilindro recto circular de 10 y 20 pies de altura, lleno con agua y con un orificio en el fondo de una pulgada de diámetro, se vacía totalmente, para resolverlo, se usaron las ecuaciones diferenciales de primer orden y el teorema de Torricelli  que  utiliza  velocidad,  volumen  y gravedad., dando como resultado un tiempo de 17h

53 min 19 seg, lo que significa que en estos tipos de problemas  se  tiene  en  cuenta  la  geometría  del tanque  y  el  área  del  orificio  por  donde  sale  el liquido, ya que entre mayor sea este, mas rápido se vaciara el tanque

Palabras claves: ecuaciones diferenciales, teorema de Torricelli, vaciado, volumen, velocidad.

Abstract:  The present project of investigation tries to show how they influence the differential linear equations in the engineering. For it, there was realized the determination of the time in which a tank or straight circular cylinder of 10 and 20 feet of height, abundance with water and with an orifice at the back of an inch of diameter, empties totally, to solve it, there were used the differential equations of the first order and Torricelli's theorem that uses speed, volume and gravity., giving like proved a time of 17h 53 min 19 seg, which means that in these types of problems the geometry of the tank is born in mind and the area of the orifice where the liquid goes out, since between major it is this, mas rapid was emptying the tank.

Keywords: differential equations, Torricelli's theorem, emptying, volume, speed.

I.     INTRODUCCIÓN

En la ingeniería, muchos de los problemas planteados necesitan de un especial cuidado a la hora de resolverlos, ya que pueden resultar un tanto complicados. A continuación, se considera que una de las posibles soluciones a esos problemas es mediante las ecuaciones diferenciales. Un ejemplo claro de la utilización de estas ecuaciones en la vida cotidiana es en procesos industriales, en la industrias existe – en un momento dado – la  necesidad de vaciar los tanques sea confines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. No obstante, se hace un énfasis particular en el vaciado de tanques; el cual es un tema de gran importancia, puesto que provee de  conocimientos necesarios para interpretar y analizar el por qué algunos tanques se  vacían  más  rápido  que  otros,  que factores determinan esto y muchas otras respuestas a preguntas de este tópico.

Desde otra perspectiva, este tema se convierte en un tipo de conocimiento esencial, que parte del   hecho   de   comprender   porque   algunos tanques se vacían mas rápido que otros si tienen el mismo tamaño del orificio de salida y la misma cantidad de liquido.   De este modo, se realiza el siguiente trabajo con el fin de determinar por medio de las ecuaciones diferenciales lineales, cual  es  el  tiempo necesario para que un tanque que contenga líquido en su interior, se vacíe totalmente y para

ello se necesita conocer el tema de ecuaciones diferenciales y relacionar las ecuaciones diferenciales con un ejercicio aplicación de las mismas

II.     MARCO TEÓRICO

En las ciencias y  la ingeniería se desarrollan modelos  matemáticos para  comprender  mejor los fenómenos físicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuación que con tiene algunas  derivadas  de  una  función  incógnita. Esta ecuación es una ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.(ed aplicadas)

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es toda ecuación que  se puede escribir en la forma

Donde P y Q son funciones continuas de x.

Al resolver las ecuaciones diferenciales, se pretende encontrar una solución de esta misma, que se convierte en una función que al reemplazar a  la  función incógnita, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Siendo así, hay tres tipos de soluciones:

Solución general, Solución particular y Solución singular.

Una  vez  conocido brevemente algo  sobre las ecuaciones diferenciales, se da inicio a una de las aplicaciones más utilizadas en la vida cotidiana: el problema de vaciados de tanques.

Un ejemplo claro de la utilización de estas ecuaciones en la vida cotidiana es en procesos industriales. En la industrias existe la necesidad de vaciar sus tanques sea confines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo  de  mantenimiento en  los  mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar producto de    un   equipo   a    otro    aprovechando   las

diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea su disposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente.

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