Tarea - 3 cadenas markovianas

TAREA - 3

CADENAS MARKOVIANAS

SISTEMAS ESTOCASTICOS

1. Si repetitivamente se lanza una moneda con probabilidad p de caer cara y se cuenta el número de caras resultantes de las tiradas sucesivas. Si se comienza con 0 y sea Tn= número de veces que hay que tirar la moneda para alcanzar n caras ¿Cuál es la distribución de probabilidades de Tn?

2. Si la máquina automática de venta de refresco tiene una probabilidad δ = 0,2 de fallar el próximo día y una probabilidad γ de reparase el próximo día. Si se observa que el día Lunes la máquina esta bien:

¿Cuál es la probabilidad que la máquina permanezca trabajando sin fallar los días martes, miércoles y jueves. ¿Cuál es la probabilidad de que falle el jueves?

3. Un juego independiente se puede ganar con p= 18/38 se repite sucesivamente hasta que algún jugador obtiene tres triunfos sucesivos y gana. Si el jugador ha ganado 2 juegos consecutivos

¿Cuál es la probabilidad de ganar el pozo en las próximas 5 jugadas?

4. Para el juego anterior, si se gana con 4 juegos sucesivos

1. Dibuje el diagrama de transición del juego

2. So p= 18/38 y el juego lleva 3 éxitos sucesivos ¿Cuál es la probabilidad de que gane el pozo en las próximas 5 tiradas?

5. Un experimento consiste en tirar 2 monedas balanceadas y contar el número de caras obtenido. Se repite sucesivamente el juego en forma independiente modele lo mediante una cadena de Markov y dibuje su diagrama de transición de estado para el número de sus caras.

6. Un juego que se puede ganar con probabilidad p, se repite sucesivamente en forma independiente por un jugador. Si las apuestas son múltiplos de $ 1 y el pago es doble o nada. Bajo el supuesto que el jugador sigue la estrategia del doblete económico hasta alcanzar $ 7.

a. Dibuje el diagrama de transición del juego

b. Calcule las probabilidades de obtener $ 7 en a lo mas 6 juegos

3. Calcule la probabilidad eventual de obtener $ 7

7. Para el juego del problema 2 sean x e y los estados de la máquina automática de refrescos entre los días Martes y Miércoles sucesivos. si se supone que el lunes estaba funcionando bien.

a. Calcule la probabilidades de la distribución conjunta de x e y.

b. Calcule las distribuciones marginales de la densidad de probabilidades de x e y, ¿Son independientes? ¿Son idénticamente distribuidas?

8. Modifique el problema de la máquina automática de servicios de la siguiente manera. Suponga que la probabilidad de que la máquina este trabajando cualquier solo depende del estado de la máquina en los dos último días. Específicamente suponga que P[ X(n+1) = k/ X(n-1) = i y X(n) = j ) = qjk sea además qoo= ¾ , q1o = 4/5 y qo1= 2/3

a. Demuestre que X(n) no es una cadena de Markov

b. Defina un nueva variable de estados para este modelo tomando los pares de estados binarios (jk) se dirá que la maquina esta en el día n-1 en j estará el día n en k. Demuestre que en el nuevo espacio se trata de una cadena de Markov, dibuje su diagrama de transición de estado.

c. Si la máquina esta trabajando el lunes y el martes ¿Cuál es la probabilidad que este trabajando el día jueves?

9. Compare los juegos del doblete y de la ruleta si en ambas se juega con fichas de $ 1 o sus múltiplos solamente y existe una probabilidad p de ganar cada juego. Sea B6 (p) y T6 (p) la probabilidad de ganar $5 en a lo mas 6 juegos para el doblete y la ruleta.

4. Calcule B6(p)/T6(p) para p = 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; y 0,7

5. ¿como es el cuociente de a?

10. Dado el siguiente modelo genético. Cada gen esta hecho de 3 subgenes que pueden ser normales o anormales. Se dice que el gen esta en estado i si contiene i subgenes normales. Cuando N genes ese replican dando origen primer 2N genes se forma un nuevo gene seleccionado al azar N subgenes de los 2Ngenes. Si se supone que un surgen normal da origen a un surgen normal y un surgen anormal en uno anormal. el gen del estado i duplica en 2 i subvienes normales y 2N- 2i subvienes anormales. Obtenga la probabilidad que el nuevo gen este en el estado j y que contengas j subgenes normales sea

Pij =

Para N=3 dibuje el diagrama de transición de estado y escriba la matriz estocástica

11. Para un modelo de inventario caracterizado por:

D(n) = Demanda aleatoria en el periodo n

X(n) = Cantidad total en inventario

Si al comienzo del día n+1 el inventario será

X(n+1)=

Se ordena llenar el inventario T si X(n) Si la demanda D(n) = [ Si T= 2 y S=-1

Dibuje el diagrama de transición de estado y formule la matriz estocástica de esta cadena

12. Si se tira una moneda balanceada repetitivamente.

i. ¿Cuál es el valor esperado de los ellos que aparecen antes de que ocurran 3 caras sucesivas?

ii. Cuantos lanzamientos esperados ocurrirán hasta que ocurran tres caras sucesivas?

iii. Si el primer lanzamiento resulta cara ¿Cuál es la nueva respuesta de a?

iv. Si la primera lanzada resulta cara cuántos lanzamientos se esperan hasta la ocurrencia de 3 caras sucesivas

13. Considere el juego del doblete, para el:

i. Clasifique los estados y escriba la matriz de transición de estados en forma estándar.

ii. Muestre que la matriz Q satisface Q4 = P2 Q2 use esto para calcular (I-Q)-1

iii. Calcule el largo esperado del juego si parte si parte del estado 1

iv. Calcule la probabilidad de ganar el juego con N05 si comienza de 1

14. Considere el juego de la ruleta con N= 5

i. Escriba la matriz de transición de estado en forma estándar

ii. Calcule la matriz (I-Q)-1 para p= 0,3 y p= 0,7

iii. Calcule las probabilidades de ganar y el promedio esperado de duración de l juego para p=0,3 y P= 0,4 si se parte de 1

15. En el ejercicio 9 sea B(p) y T(p) respectivamente la probabilidad de ganar el juego( alcanzar 5 ) siguiendo la estrategia del doblete o d la ruleta con fichas de $ 1.

i. Calcule B(p) /T(p) para p= 0,3 y = 0,4

ii. Existe alguna contradicción entre los resultados de este problema y el 9

16. Suponga usted administra una máquina de venta de café que genera ganancias diarias promedio de $ 200. Cuando la máquina esta funcionando, Si la tasa de falla δ = 0,2. Si una empresa de reparaciones ofrece un servicio de mantención de probabilidad γ de reparar en un día la falla. Si el costo del servicio

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