Tasa de cambio y criterio de la primera derivada

Actividad 1. Tasa de cambio y criterio de la primera derivada

Propósito: Analizar la aplicación de las derivadas, y de máximos y mínimos, en situaciones propias de unidades de negocios.

Instrucciones: Lee cuidadosamente cada uno de los enunciados y contesta lo que se pregunta. Deberás incluir todos y cada uno de los procedimientos para llegar a la respuesta.

Primera parte:

La función de demanda de un producto de su empresa es p(q)=100-q^2.

Determina la tasa de cambio del precio con respecto a la cantidad demandada. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio cuando q=5? ¿Cuál es el precio del producto cuando se demandan 5 unidades?

Segunda parte:

Usted como fabricante de cierto producto ha determinado que el costo C de producirlo está dado por la expresión,

C(q)=0.05q^2+5q+500

Donde C está en miles de pesos y q en unidades.

Calcula el costo de producir 12 piezas.

x C(q)=0.05q^2+5q+500

12 C(q)=0.05q^2+5q+500= 567.2

Determina la función de costo promedio y determine su valor cuando se fabrican 12 piezas.

C prom= C/ q= 0.05q^2+5q+500/12

V fabric= 0.05q^2+5q+500/12 = 7.2 + 60 + 500 / 12 = 47.26

Determina la función de costo marginal.

C= 0.05 (2q) + 5

Calcula la cantidad de unidades que se deben fabricar para que el costo promedio sea mínimo. Determine el valor de dicho costo promedio mínimo.

C´= 0.05 (2q) + 5 = 0 q= -5/0.1= -50

C´´= 0.1

Indica si la función de costo promedio es creciente o decreciente en el rango de producción de 10 a 25 piezas.

x C/ q= 0.05q^2+5q+500/q R

10 C/ q= 0.05(10)^2+5(10)+500/10 55.5

15 C/ q= 0.05(15)^2+5(15)+500/15 39.08

20 C/ q= 0.05(20)^2+5(20)+500/20 31

25 C/ q= 0.05(25)^2+5(25)+500/25 26.25

La funcion es decreciente

Tercera parte:

Utiliza el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximos y mínimos de la función y=(x^2-x-1)^2. Determina también los puntos de inflexión, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad.

y´= 4x^3-5x^2-3x+1

max{4 x^3-5 x^2-3 x+1} = 1/216 (61 raiz (61)-179) en x = 5/12- raiz (61)/12

min{4 x^3-5 x^2-3 x+1} = 1/216 (-179-61 raiz (61)) at x = 5/12+ raiz(61)/12

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