Aplicacion Del Criterio De La Primera Derivada

a).- f(x) = x2 –x en el intervalo ( - ∞,∞)

f(x) = x2 – x = 2x -1 = 0

2x = 1 o x = ½

2x = 1 si x = -∞ y cuando x = ∞

f’(x) = 2x – 1

f’(-∞) = 2(-∞) -1 = -1

f’(∞) = 2(∞) – 1 = 1

por lo tanto:

(-∞,½) decreciente

(½,∞) creciente

Los puntos críticos

x = 0, x = ½ , x = -∞ , x = ∞

b).- f(x) = x3 – x2 en el intervalo (-∞,∞)

f(x) = x3 – x2 = 3x2 – 2x = 0

3x2 = 2x o x = √2x/3

f’(x) = 3x2 – 2x

f’(-∞) = 3(-∞)2 – 2(-∞) = ∞

f’(∞) = 3(∞)2 – 2(∞) = - ∞

(-∞,√2x/3) decreciente

(√2x/3, ∞) creciente

Los puntos críticos

x = 0, x = √2x/3, x = -∞, x = ∞

c).- f(x) = x2 ex en el intervalo ( -3, 3)

f(x) = x2 ex = ex (x2 +2x) = 0

x2 = 0 o x = √0

2x = 0 o x = 0/2

f’(x) = ex ( x2 + 2x)

f’(-3) = ex ( (-3)2 + 2(-3)) = ex ( 9 – 6) = 3ex

f(3) = ex ( (3)2 + 2(3)) = ex ( 9 + 6) = 15ex

( -3, √0) decreciente

(0/-2, 3) creciente

Los puntos críticos

x = 0, x = √0, x = 0/2

d).- f(x) = sen2 x en el intervalo ( 0, 2π)

f(x) = sen2 x = 2cos(x) sen(x) = 0

cos(x) = 0 o sen(x) = 0

x = 0 o x = π

cos(x) = 0 , x= π/2 , x = 3/2π

f’(x) = 2cos(x) sen(x)

f’(0) = 2cos(0) sen(0) = f’(0) = 0

f’(2π) = 2cos(2π) sen(2π) = f’(2π) = cos(4π) sen(4π)

(0,0) decreciente

(cos(4π) sen(4π), 2π) creciente

Los puntos críticos

X = 0, x = π, cos(x) = 0, x = π/2, x = 3/2π

e).- f(x) = e(3x + 5)2 en el intervalo ( -2,2)

f(x) = e(3x + 5)2 = e(3x + 5)2 * 2(3x +5)(3) = e(3x + 5)2 * 6(3x +5) = e(3x + 5)2 * (18x + 30) = 0

30

x = 0 o x = -

18

f’(x) = e(3x + 5)2 * (18x + 30)

f’(-2) = e(3x + 5)2 * (18(-2) + 30) = - 6

f’(2) = e(3x + 5)2 * (18(2) + 30) = 66

( -2, -6) decreciente

(2, 66) creciente

Los puntos críticos

X = 0, x = 30/18, x = -2, x = 2

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