Teorema De L'Hôpital

El objetivo de esta investigación es encontrar la expresión de

〖lím〗┬(x→0)⁡〖〖A sen〗⁡Bx/x〗

y, para esto, se intentará encontrar algún tipo de relación entre diferentes funciones de la forma

f(x)=〖A sen〗⁡Bx/x

evaluando A y B con distintos valores cada vez (A y B son constantes). Finalmente, se analizarán y se darán a conocer las diferencias entre algunas de las gráficas que están por mostrarse a lo largo de esta investigación. Además se hará uso del Teorema de l’Hôpital el cual se utiliza cuando se tiene un límite donde x tiende a 0 y hay una x en el denominador de la función y también establece que

〖lím〗┬(x→0)⁡〖n/x=〖lím〗┬(x→0)⁡〖n'/x'〗 〗

Esto se hará para obtener algunos resultados analíticamente y tener un mejor análisis y entendimiento del tema (se trabajará con radianes).

Todos los resultados se obtendrán con ayuda de Microsoft Excel, de GeoGebra (software para graficar funciones) y de la calculadora gráfica “TI-84 Plus Silver Edition” y se presentarán a seis lugares decimales dentro de las tablas de valores (los valores de x estarán dentro de un rango de -0.50 a 0.50).

En este primer caso se obtendrán los resultados mediante una tabla de valores evaluando A=1 y B=1 considerando la siguiente función:

f_1,1 (x)=sen⁡x/x

Tabla I. Resultados Obtenidos Evaluando A=1 y B=1

x f_(1,1) (x)

-0.50 0.958850

-0.45 0.966590

-0.40 0.973550

-0.35 0.979710

-0.30 0.985070

-0.25 0.989620

-0.20 0.993350

-0.15 0.996250

-0.10 0.998330

-0.001 1.000000

0.001 1.000000

0.10 0.998330

0.15 0.996250

0.20 0.993350

0.25 0.989620

0.30 0.985070

0.35 0.979710

0.40 0.973550

0.45 0.966590

0.50 0.958850

En la tabla anterior se puede ver cómo los valores de f_1,1 (x) tienden a 1 al momento de acercar x a 0. Esto puede ser ilustrado mediante una gráfica. No importa qué tan cercano sea el valor de x a 0 en f_1,1 (x), la función jamás será f_1,1 (x)=1, ya que si el valor de x es sustituido por el valor de 0 el resultado no estaría definido (indefinido). Esto lleva a reconocer el resultado

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(sen x)/x〗=1

Ahora se aplicará el Teorema de l’Hôpital para una mejor apreciación del límite encontrado:

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(sen x)/x〗=〖lím〗┬(x→0)⁡cos⁡x

〖lím〗┬(x→0)⁡cos⁡x =cos⁡0

cos⁡0=1

Al igual que en la parte anterior, se le darán nuevos valores a las variables A y B, 1 y 2 respectivamente, para seguir buscando esta relación y así encontrar una expresión para la función ya dada anteriormente.

Ahora se presentará la tabla de valores con su respectiva gráfica de los resultados obtenidos de la siguiente función:

f_1,2 (x)=sen⁡2x/x

Tabla II. Resultados Obtenidos Evaluando A=1 y B=2

x f_(1,2) (x)

-0.50 1.682942

-0.45 1.740726

-0.40 1.793390

-0.35 1.840622

-0.30 1.882142

-0.25 1.917702

-0.20 1.947092

-0.15 1.970135

-0.10 1.986693

-0.001 1.999999

0.001 1.999999

0.10 1.986693

0.15 1.970135

0.20 1.947092

0.25 1.917702

0.30 1.882142

0.35 1.840622

0.40 1.793390

0.45 1.740726

0.50 1.682942

La tabla y la gráfica anteriores muestran los resultados obtenidos al evaluar A=1 y B=2. Se puede ver que mientras x tiende a 0, f_1,2 (x) se acerca a 2. Por lo visto, la figura creada con estos valores o coordenadas es simétrica con respecto a 0 al igual que la gráfica anterior. Las diferencias entre la Gráfica I y la Gráfica II son los periodos y los límites. El periodo de la Gráfica II es más corto y su límite es mayor al de la Gráfica I.

Con los resultados obtenidos se puede decir que la expresión para el caso anterior es la siguiente:

〖lím〗┬(x→0)⁡〖sen⁡2x/x〗=2

Una vez más se hará uso del Teorema de l’Hôpital:

〖lím〗┬(x→0)⁡〖sen⁡2x/x〗=〖lím〗┬(x→0)⁡cos⁡2x

〖lím〗┬(x→0)⁡cos⁡2x =〖lím〗┬(x→0)⁡〖[1+〖〖(cos〗⁡〖x)〗〗^2]〗

〖lím〗┬(x→0)⁡〖[1+〖〖(cos〗⁡〖x)〗〗^2]〗=1+〖〖(cos〗⁡〖0)〗〗^2

1+〖〖(cos〗⁡〖0)〗〗^2=1+1

1+1=2

Como tercer prueba, se le cambiará el valor a B de 1 a 3. Lo que se infiere es que la expresión terminará siendo

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(sen 3x)/x〗=3

de acuerdo a lo visto en las pruebas anteriores. Se debe considerar la siguiente función:

f_1,3 (x)=sen⁡3x/x

Tabla III. Resultados Obtenidos Evaluando A=1 y B=3

x f_(1,3) (x)

-0.50 1.994990

-0.45 2.168274

-0.40 2.330098

-0.35 2.478352

-0.30 2.611090

-0.25 2.726555

-0.20 2.823212

-0.15 2.899770

-0.10 2.955202

-0.001 2.999996

0.001 2.999996

0.10 2.955202

0.15 2.899770

0.20 2.823212

0.25 2.726555

0.30 2.611090

0.35 2.478352

0.40 2.330098

0.45 2.168274

0.50 1.994990

Los resultados obtenidos se presentan en la tabla y gráfica de arriba. Se puede ver que los valores de f_1,3 (x) se acercan a 3 cuando x tiende a 0. Efectivamente, la expresión obtenida fue

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(sen 3x)/x〗=3

Con los tres resultados anteriores se puede inferir que cuando el valor de B es modificado,

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(sen Bx)/x〗=B

y que el valor de A no afecta en lo absoluto. Se seguirán haciendo más pruebas para verificar esto y para encontrar una proposición general que permita calcular

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(A sen Bx)/x〗

Con el Teorema de l’Hôpital se comprobará que el límite es igual a 3.

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(sen 3x)/x〗=〖lím〗┬(x→0)⁡〖cos 3x〗

〖lím〗┬(x→0)⁡〖cos 3x〗=〖lím〗┬(x→0)⁡cos⁡〖x(2 cos⁡〖2x+1)〗 〗

〖lím〗┬(x→0)⁡cos⁡〖x(2 cos⁡〖2x+1)〗 〗 =cos⁡〖0[2 cos⁡〖2(0)+1]〗 〗

cos⁡〖0[2 cos⁡〖2(0)+1]〗 〗=1[(2)(1)+1]

1[(2)(1)+1]=3

Ahora bien, se le darán valores a A y B diferentes de 1 para ampliar esta investigación definiendo

f_2,2 (x)=(A sen⁡Bx)/x

La elección de valores se hará al azar por el momento permaneciendo dentro del subconjunto de números reales enteros positivos iguales o menores a 3 y mayores a 0. En este primer caso se intentará encontrar una expresión para

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(A sen Bx)/x〗

cuando A=2 y B=2.

Igualmente se registrarán los datos obtenidos en una tabla de valores con su gráfica.

A 2

B 2

Tabla IV. Resultados Obtenidos Evaluando A=2 y B=2

x f_(2,2) (x)

-0.50 3.365884

-0.45 3.481453

-0.40 3.586780

-0.35 3.681244

-0.30 3.764283

-0.25 3.835404

-0.20 3.894183

-0.15 3.940269

-0.10 3.973387

-0.001 3.999997

0.001 3.999997

0.10 3.973387

0.15 3.940269

0.20 3.894183

0.25 3.835404

0.30 3.764283

0.35 3.681244

0.40 3.586780

0.45 3.481453

0.50 3.365884

Mediante estos resultados se puede decir que la inferencia hecha anteriormente es incompleta porque aplicaba cuando A=1. Entonces, la expresión obtenida es

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(2 sen 2x)/x〗=4

ya que los valores de f_2,2 (x) se acercan cada vez más a 4 cuando los valores de x tienden a 0.

Comparando la Gráfica II y la Gráfica IV se puede ver que las intersecciones con el eje x siempre serán las mismas. Esto quiere decir que sus periodos son de la misma magnitud. Las diferencias son que los puntos máximos y mínimos de f_2,2 (x) son mayores a los de f_1,2 (x). Esto se debe a que se varió el parámetro A, pues este parámetro es aquél que afecta a los puntos máximos y mínimos locales en este tipo de funciones. 

Ahora se intentará lo mismo pero siendo B=3 en este caso para seguir en busca de la expresión general de

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(A sen Bx)/x〗

A 2

B 3

Tabla V. Resultados Obtenidos Evaluando A=2 y B=3

x f_(2,3) (x)

-0.50 3.989980

-0.45 4.336548

-0.40 4.660195

-0.35 4.956704

-0.30 5.222179

-0.25 5.453110

-0.20 5.646425

-0.15 5.799540

-0.10 5.910404

-0.001 5.999991

0.001 5.999991

0.10 5.910404

0.15 5.799540

0.20 5.646425

0.25 5.453110

0.30 5.222179

0.35 4.956704

0.40 4.660195

0.45 4.336548

0.50 3.989980

Ya teniendo los resultados anteriores se puede obtener el siguiente límite:

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(2 sen 3x)/x〗=6

Pareciera que las constantes A y B pudieran multiplicarse para obtener el límite.

Las diferencias entre la Gráfica IV y la Gráfica V son que en la Gráfica IV se puede ver que el límite es menor y los periodos son más cortos que en la Gráfica V. Esto también se puede comprobar mediante el Teorema de l’Hôpital:

〖lím〗┬(x→0)⁡〖(2 sen 3x)/x〗=〖lím〗┬(x→0) cos⁡3x

〖lím〗┬(x→0) cos⁡3x=〖lím〗┬(x→0)

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