Teorema De Varignon (mecánica)

El Teorema de Varignon es un teorema descubierto por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1687 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis sostenía Leibniz.

Enunciado y Demostración

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.

Su enunciado, según la terminología actual, vendría a ser:

El momento resultante sobre un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas aplicadas.

Demostración

Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, , vectores en un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicacion un cierto punto A. El momento de cada fuerza con respecto a será: (producto vectorial). Nótese que escribimos y no , ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo punto. El momento de la resultante es: donde y es nuevamente el vector posición común. Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos

entonces

Luego, efectivamente "el momento resultante es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas si estas son concurrentes",

...