Teorema De Moivre

• Teorema de Moivre [1]

Si multiplicamos n números complejos, a partir de la expresión del producto de dos números

complejos obtenemos que el producto de n números complejos equivale a un complejo cuyo módulo

es el producto de los n módulos y el argumento, la suma de los n argumentos. De esta forma:

{ ( ) ( )} n n n n z1z2 z3Lz = r1r2r3Lr φ1 +φ2 +φ3 +L+φ + j φ1 + φ2 +φ3 +L+φ cos sin

Tomando todos los complejos iguales z z z z z n 1 = 2 = 3 =L= = , la expresión anterior queda

como:

zn = rn{cos(nφ )+ j sin(nφ )}

Por otro lado, la n-ésima potencia del número complejo z también puede expresarse, lógicamente

como:

Números complejos

Proyecto e-Math 7

Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

zn = {r(cos(φ )+ j sin(φ ))}n

y igualando las dos últimas expresiones llegamos al Teorema de Moivre:

zn = {r(cos(φ )+ j sin(φ ))}n = rn (cos(nφ )+ j sin(nφ ))

• Radicación [2]

El teorema de Moivre nos permite calcular fácilmente la expresión para las raíces de cualquier

número complejo. Un número w es una de las n raíces n-ésimas de un número complejo z , si

w = z1/ n . Del Teorema de Moivre, podemos demostrar que las n raíces de z , k w son:

= n = { ( ( )+ ( ))} n =

k w z1 r cos φ j sin φ 1

  

  







 +

+ 







 +

=

n

j k

n

r1 n cos φ 2πk sin φ 2π con k = 0,1,2,K,n −1

Estos n valores distintos surgen debido a la posibilidad de obtener un mismo número complejo

sumando vueltas enteras (de 2π ) al argumento.

• Fórmula de Euler [2]

La extensión compleja de la función exponencial viene definida a partir de la serie de potencias

ex = 1+ x + x2 2!+ x3 3!+K

Substituyendo la variable x por jθ , llegamos al resultado siguiente:

e jθ =1+ jθ + ( jθ )2 2!+( jθ )3 3!+( jθ )4 4!+K=

= (1−θ 2 2!+θ 4 4!−K)+ j(θ −θ 3 3 +K)= cosθ + j sinθ

donde e = 2,71828K . Esta fórmula recibe el nombre de fórmula de Euler. A partir de esta

expresión y definiendo la exponencial de un número complejo como:

ez ≡ ex+ jy ≡exe jy

y utilizando la fórmula de Euler, obtenemos:

ez ≡ ex+ jy ≡exe jy = ex (cosθ + j sinθ )

Un caso particular de la fórmula de Euler es:

e jπ +1 = 0

Números complejos

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Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

que relaciona elementos matemáticos tan diferentes como el 0 y el natural 1, los irracionales e y π, y

el imaginario puro j.

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