El concepto de teorema de аbraham de Moivre

INTRODUCCION

Un teorema es una proposicion que afirma una verdad demostrable, el teorema de Abraham de Moivre, matemático Británico de origen francés establece que si un número complejo z = r (cos x + i sin x), entonces zn = rn (cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios.

El teorema apareció por primera vez en la segunda edición de The Doctrine of Chances, de Abraham de Moivre, publicado en 1738. Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

POTENCIAS

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

Zn = z•z•...(n veces)...•z = (rx)•(rx)•...(n veces)...•(rx) = (r•r•...(n veces)...•r)x+x+...(n veces)..+x=(rn)n•x

Es decir,

(rx)n = (rn)n•x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r• (cos x + i•sen x) ==> zn = rn• (cos x + i•sen x) n = rn• (cos n•x + i•sen n•x)

De donde: cos(n•x) + i•sen(n•x) = (cos x + i•sen x)n expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Ejemplo:

Conocidos cos x y sen x, calculemos cos 4x y sen 4x:

cos 4x + i•sen 4x = (cos x + i•sen x)4 = (40)•cos4x + (41)•cos3x•i•sen x + (42)•cos2x•i2•sen2x + (43)•cos x•i3•sen3x + (44)i4•sen4x = cos4x + 4•i•cos3x•sen x - 6•cos2x•sen2x - 4•i•cos x•sen3x + sen4x = (cos4x - 6•cos2•sen2x + sen4x) + (4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x)•i

Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:

Cos 4x = cos4x - 6•cos2x•sen2x + sen4x

Sen 4x = 4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x

EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga:

donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de

Z. Esto lo denotamos por:

En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces . Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n raíces n - esimas. Así por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues:

Luego 1, -1, i, y -i son las raíces cuartas de 1.

A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Sea Z = |Z| (cos θ + i sen θ).

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una circunferencia

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