Teorema Del Residuo Y Mcm

1.- Usar la división sintética y el teorema del residuo en cada uno de los siguientes casos para:

a) Encontrar P(2) si P(x) = 2x^3-5x^2+7x-7

2 -5 7 -7 2

4 -2 10

2 -1 5 3

P(2)=3

b) Encontrar P(-7) si P(x) = x^4+5x^3-13x^2-30

1 5 -13 0 -30 -7

-7 14 -7 49

1 -2 1 -7 19

P(-7)=19

c) Encontrar P(3) si P(x) = x^5-10x^3+7x+6

1 0 -10 0 7 6 3

3 9 -3 -9 -6

1 3 -1 -3 -2 0

P(3)=0

2.- Determine el valor de ∝ para que el polinomio P(x) = x^4-∝x+1/3 sea divisible por x + 2

1 0 0 -∝ +1/3 -2

-2 4 -8

1 -2 4 -8-∝ 16+2∝+1/3

16+2∝+1/3=0

∝=-49/6

3.- En cada uno de los siguientes casos dividir P(x) por Q(x) y utilizando dicho resultado , factorizar P(x).

a) P(x) = x^2+4x-5; Q(x)=x+5

1 +4 -5 -5

-5 5

1 -1 0

P(x)= (x +5)(x-1)

b) P(x) = 〖1/2 x〗^3-3/2 x^2-1/3 x+1; Q(x)=x-3

1/2 -3/2 -1/3 +1 3

3/2 0 -1

1/2 0 -1/3 0

P(x)=(x-3)(x^2-1/3)

c) P(x) = 6x^3+19x^2+16x+4; Q(x)=3x+2

6 19 16 4 -2/3

-4 -10 -4

6 15 6 0

P(x)=(3x-2)(6x^2+15x+6)

P(x)=3(3x-2)(2x^2+5x+2)

P(x)=3(3x-2)(x+2)(2x+1)

4.- Las raíces de un polinomio P(x) de grado 2 son 1+√3 y 2-√3. Hallar P(x).

P(x)=[x-(1+√3 )] [x-(2-√3)]

P(x)=x^2-2x+√3 x-x-√3 x-1+√3

P(x)=x^2-3x-(1-√3)

5.- Determinar un polinomio P(x) de cuarto grado que tiene dos raíces reales: -3 y 1/2 y tal que P(1) = 20, P(5) = 1080 y P(O) = 6

a b c d e

-3a - 3b+9a - 3c+9b-27ª -3d+9c-27b+81a -3

a b-3a c-3b+9ª d-3c+9b-27ª e-3d+9c-27b+81a

a b c d e

-1/2a 1/2 b+1/4a 1/2 c+1/4 b+1/8 a 1/2 c+1/4 b+1/8 a+1/16 a 1/2

-1/2a c+1/2 b+1/4a d+1/2 c+1/4 b+1/8 a e+1/2 c+1/4 b+1/8 a+1/16 a

a b c d e

a a+b a+b+c+d a+b+c+d+e 1

a a+b a+b+c a+b+c+d a+b+c+d+e

a b c d e

5a 25a+b+c 5c+125a+25b 5d+25c+625a+125b 5

a 5a+b c+25ª+5b d+5c+125a+5b e+5d+25c+625ª+125b

a b c d e

0 0 0 0 0

a b c d e

6.- En cada uno de los siguientes casos determinar el valor de m para que el polinomio P(x) sea divisible por Q(x).

a) P(x) = 6x^3+2x^2-3x+10m; Q(x)=3x+2

6 2 -3 10m -2/3

-4 4/3 10/9

6 -2 -5/3 10/9+10m

m=-1/9

b) P(x) = x^4+ma^2 x^2+16x+a^4; Q(x)=x^2-ax+a^2

7.- En cada uno de los siguientes casos escoja el número real k para que el número real a sea una raíz del polinomio P(x). Además factorice P(x) en la forma Q(x) (x – a).

a) P(x) = 2x^2-5x+k; a=2

2 -5 k 2

4 -2

2 -1 -2+k

k=2

P(x)=(x-2) (2x-1)

b) P(x) = 3x^2+kx-8; a=-2

3 +k -8 -2

-6 12-2k

3 - 6+k -8+12-2k

K=2

P(x)=(x+2)(3x-4)

c) P(x) = kx^2-6x+2; a=1/2

k -6 2 1/2

k/2 -3+k/4

k -6+k/2 2-3+k/4

K=4

P(x)=(x-1/2)(4x-4)

d) P(x) = 2x^3+kx^2+9; a=-3

2 k 9 -3

-6 18-3k

2 -6+k 27-3k

K=9

P(x)=(x+3)(2x+3)

8.- Determinar a y b para que el polinomio P(x) sea divisible por Q(x).

a) P(x) = x^4+ax^2+b; Q(x)=x^2+2x+5

x^4+ax^2+b 〖 x〗^2+2x+5

-2x^3+x^2 (a-5)+b 〖 x〗^2-2x+(a-1)

x^2 (a-1)+10x+b

x((10-2a+2))+b-5a+5

10-2a+2=0, a=6

b-30+5=0, b=25

b) P(x) = x^4-3x^3+ax+b; Q(x)=x^2-2x+4

x^4-3x^3+ax+b 〖 x 〗^2-2x+4

-x^3 -4x^2+ax x^2-x-6

-6x^2+x(a+4)+b

x(a+4-12)+24+b

a=8, b=-24

9.- Escoja los reales k y k^' para que a y b sean dos raíces del polinomio P(x). Factorice luego P(x) en la forma c(x-a)(x-b).

a) P(x) = kx^2+3x+k^'; a=-5;b=4

k 3 k^' -5

-5k -15+25k

k 3-5k -15+25k+k^'

k 3 k^' 4

4k 12+16k

k 3+4k 12+16k+k^'

-15+25k+k^'=0

12+16k+k^'=0

-27+9k=0

K=3

k^'=-60

P(x)=3(x+5)(x-4)

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