Teorema De Rolle

TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE

INTRODUCCION

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

La ecuación de la recta tangente a una función en el punto A( a , f ( a ) ) viene dada por la expresión: y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección (“un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.

2.- TEOREMA DE ROLLE

Si f es una función continua en [ a , b ], derivable en ( a , b ) y además f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que f ’ ( c ) = 0.

2.1 Interpretación geométrica

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î (a, b) en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta y = f (c)).

Teorema de Rolle:

Sea f una función sobre un intervalo cerrado [a, b], con derivadas en todo x del intervalo abierto (a, b). Si f(a) = f(b), existe al menos un punto c en (a,b) tal que:

f´(c) = 0

Ejemplo:

Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].

Primero sabemos que la función, con dominio todos los números reales, y derivable en todo punto.

la derivada de esta función es: f´(x)=2x lo que nos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0. f´(x)=2x=0 entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo.

El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como se había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s.

Teorema del valor medio:

Sea f una función continua en algún intervalo cerrado [a,b], y derivable en (a,b). Entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a,b) tal que:

Nota: Esta idea intuitiva es muy similar a la generada para construir el concepto de derivada, a través del concepto de Leibnitz.

en el gráfico (a,f(a)) y (b,f(b)) son puntos terminales de la cuerda, mas objetivamente si la cuerda y la tangente son paralelas entonces, ambas tienen la misma pendiente y basta con observar la pendiente en una de ellas para determinar el valor de la derivada.

Por ejemplo observemos el triangulo formado:

Ejemplo: Verificar el teorema del valor medio para f(x)=x2+2x+1 para a=1 y b=2

...