Teorema de Bezout

Teorema de Bézout

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Número de puntos de intersección entre dos curvas algebraicas proyectivas, el quadrifolium (azul) de la ecuación {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-4x^{2}y^{2}z^{2}=0} {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-4x^{2}y^{2}z^{2}=0} de grado 6, y el trifolium (en rojo) de ecuación {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+(3x^{2}y-y^{3})z=0} {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+(3x^{2}y-y^{3})z=0} de grado 4. Hay 24 puntos de intersección, a saber: una intersección en (0,0,1) (en el centro de la figura) de multiplicidad 14, otras cuatro intersecciones visibles en la figura en puntos simples, pero también hay dos puntos de intersección triples en el infinito en coordenadas complejas, (1, i, 0) y (1, -i,0).

El teorema de Bezout, atribuido a Étienne Bézout1​2​ afirma que dos curvas algebraicas proyectivas planas {\displaystyle C,D} {\displaystyle C,D} de grados m y n, definidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado {\displaystyle k} k y sin componente irreductible común, tienen exactamente mn puntos de intersección contados con su multiplicidad.

La forma débil del teorema dice que el número de intersecciones (sin tener en cuenta las multiplicidades) está acotado por {\displaystyle mn} {\displaystyle mn}. Es decir, si {\displaystyle F,G} {\displaystyle F,G} son dos polinomios homogéneos con coeficientes en {\displaystyle k} k (con {\displaystyle C=V_{+}(F)} {\displaystyle C=V_{+}(F)} y {\displaystyle D=V_{+}(G)} {\displaystyle D=V_{+}(G)}3​) de grados respectivos {\displaystyle m,n} {\displaystyle m,n} y sin ningún factor común, entonces el sistema

{\displaystyle F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0} {\displaystyle F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0}

admite a lo más {\displaystyle mn} {\displaystyle mn} soluciones en el plano proyectivo {\displaystyle P^{2}(k)} {\displaystyle P^{2}(k)}.

Índice

1 Historia

2 Enunciado

3 Notas

4 Referencias

Historia

El principio de que una curva con grado n se interseca con una de grado m en nm puntos fue supuesto verdadera por varios matemáticos. El primero en haberlo enunciado parece haber sido Isaac Newton en 1665 en The geometrical construction of equations.4​

En la geometría de Descartes, el cálculo de la tangente de una curva o, equivalentemente, de la recta normal en un punto, se hace mediante la búsqueda de la circunferencia osculatriz en ese punto. El método descrito por Descartes consiste en escribir la ecuación de los círculos que pasan por el punto de la curva y en buscar el de los los círculos que no tienen más que un punto de intersección único con la curva.5​

Desde el comienzo del siglo XVIII, la investigación del número de puntos de intersección de dos curvas planas de ecuaciones cartesianas implícitas {\displaystyle P(x,y)=0} {\displaystyle P(x,y)=0}, {\displaystyle Q(x,y)=0} {\displaystyle

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