Teorema de Green

Teorema de Green: Sea C una curva simple cerrada, suave a trozos con orientación positiva en el plano y sea D la región delimita C. Si Py Q tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a D, entonces:
[pic 1]

Demostración: Demostremos el Teorema de Green para el caso en el que D es una región simple

→ La demostración consistirá en demostrar que        ②
                                                            ③[pic 2][pic 3]

→ Hagamos un dibujo de la región D, siendo la misma región simple

/////GRÁFICOS/////

→ Demostraremos ②: Ayudándonos expresando a D como una región de tipo I donde f1 y f2 son funciones continuas, esto nos permite calcular la integral doble del segundo miembro de ② como:

        (El ultimo paso se infiere por el Teorema Fundamental del Calculo) [pic 4]

Para calcular el primer miembro de ②, como C= C1+ + C2- donde podamos parametrizar a C1+  (tomando a x como parámetro) y escribimos las ecuaciones paramétricas:
x=x , y= , a ≤ x ≤ b. Por lo tanto
[pic 5][pic 6]

Veamos que  C2- va de derecha a izquierda → C2+ va de izquierda a derecha, donde podemos parametrizar a C2+ (tomando x como parámetro) y escribimos las ecuaciones paramétricas:
x=x , y= , a ≤ x ≤ b. Por lo tanto[pic 7]

[pic 8]

Por lo tanto como [pic 9]

Entonces:

[pic 10]

→Demostraremos ③: Ayudándonos expresando a D como una región de tipo II donde g1 y g2 son funciones continuas, esto nos permitirá calcular la integral doble del segundo miembro de ③ como:

  [pic 11]

(El último paso se infiere por el Teorema Fundamental del Cálculo)

Para calcular el primer miembro de ③ como C= C1-+  + C2- - donde podemos parametrizar C1- +   (tomando y como parámetro) y escribimos las ecuaciones paramétricas:

y=y, x= , c ≤ y ≤ d. Por tanto[pic 12]

[pic 13]

Veamos que C2- - va de arriba hacia abajo → C2- + va de abajo hacia arriba, donde podemos parametrizar a C2- + (tomando y como parámetro)  y escribimos las ecuaciones paramétricas:
y=y, x= , c ≤ y ≤ d. Por tanto[pic 14]

[pic 15]

Por lo tanto como [pic 16]

Entonces
[pic 17][pic 18]

Luego, al sumar las ecuaciones de ② y ③ obtenemos el Teorema de Green

                                                                                Cqd

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