Teorema De Green

Prólogo

El objetivo de este libro es presentar un estudio de los tres teoremas integrales más importantes del cálculo vectorial y algunas de sus formas alternativas equivalentes,tanto para funciones continuas como para funciones discontinuas.Concretamente,los teoremas que se estudian aquí son los teoremas de Green,Gauss y Stokes.Sin embargo,como no hay una nomenclatura universal para estos teoremas ni una forma única de escribirlos y es frecuente encontrarlos en la literatura con otros nombres ,a continuación presentamos explícitamente los teoremas que se estudiarán aquí escritos en una de las formas más comunes de cada uno de ellos:

\iint_{\mathbb{\mathcal{A}}}\left(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right)dA\:

=\:\int_{\partial\mathcal{A}}fdx+gdy\qquad

(Teorema de Green)

\iiint_{\mathcal{V}}\nabla\cdot FdV\:

=\:\iint_{\partial\mathcal{V}}F\cdot\hat{n}d\sigma\qquad\qquad\qquad

(Teorema de Gauss)

\iint_{\mathcal{S}}\nabla\times F\cdot\hat{n}d\sigma\:

=\:\int_{\partial\mathcal{S}}F\cdot dx\qquad\qquad\qquad

(Teorema de stokes)

El significado de cada símbolo se discutirá con detalle en el texto.Por lo pronto lo unico lo unico que interesa especificar es que \mathcal{A}

es una region de un espacio euclidiano bidimensional, \mathcal{V}

una region de un espacio euclidiano tridimensional y \mathcal{S}

una superficie en un espacio euclidiano tridimensional. \partial\mathcal{A}

,\partial\mathcal{V}

,\partial\mathcal{S}

son sus respectivas fronteras en la mayoría de los casos en que aparecen en la literatura teoremas diferentes con estos nombres se trata de propiedades que se derivan trivialmente de las expresiones anteriores.

En varios sentidos , los toremas de Green, Gauss y Stokes son generalizaciones del teorema fundamental del cálculo de una sola variable.En efecto, este teorema establece la igualdad

\int_{b}^{a}\frac{df}{dx}dx

=f(b)-f(a)

que es una relación entre el valor de la integral de la derivada de f

y los valores de f

en los puntos frontera del intervalo de integración.Los tres teoremas que se verán aquí también tienen esa característica: establecen una relación entre la integral de cierto tipo de derivada de una función vectorial y los valores de la función en la frontera del conjunto de integración.Además, como se verá,el teorema fundamental del cálculo juega un papel muy importante en la demostracion de los tres teoremas.Las versiones más generales de éstos, para espacios de dimensiones mayores ,sólo se estudiarán superficialmente, ya que un estudio riguroso requiere de conceptos más elaborados que quedan fuera de los objetivos de este texto.

El libro está escrito principalmente con la idea de establecer un puente entre los conocimientos que adquieren los estudiantes de fisíca y matemáticas sobre estos teoremas durante sus cursose de cálculo y los conocimientos que deben tener de estos teoremas en las aplicaciones en donde aparecen funciones discontinuas o con derivadas parciales discontinuas.Prácticamente en todos los cursos de cálculo enen donde se estudian estos teoremas las demostraciones que se dan requieren que las funciones tengan derivadas parciales continuas.De esta manera,los estudiantes sólo pueden estar seguros de la validez de dichos teoremas para estos casos.Pero con toda razón pueden sentir desconfianza al aplicarlos en funciones discontinuas o con derivadas parciales discontinuas,ya que las demostraciones para estas funciones no sesiguen en forma inmediata de lo que ya conocen.Esta situación constituye la brecha que el libro intenta subsanar.No

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