Teorema De Green

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada

UNEFA Núcleo Vargas

Asignatura: Matemática

Ingeniería Ciclo Básico

Sección: 1

Matemática

Profesor: Integrantes:

Sandoval Gustavo Bracamonte Francisco C.I. 24.207.078

Centeno Génesis C.I. 20.049.228

Agua santa García C.I. 20.784.893

Catia la Mar, octubre del 2013

INTRODUCCIÓN

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva.

El concepto del Jacobiano de una función real y el de la matriz Hessiana de una función real. El Jacobiano es la generalización del concepto de primera derivada ya visto en cálculo pero en una variable, mientras que el de matriz Hessiana corresponde a la generalización de la segunda derivada parcial también en una variable. Al final de este resumen de conceptos viene un resultado teórico sobre el desarrollo de Taylor de una función en varias variables

La matriz hessiana o hessiano de una función f de n variable, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.

El teorema de Green

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ´esta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este capítulo ilustraran las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en R3 en los siguientes capítulos.

Antes de enunciar el teorema de Green convendría precisar que entendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´estas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿cómo distinguir entre una y otra orientación? ¿Qué hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios procedimientos para conseguir esto. Quizá el más intuitivo sea el siguiente, que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva.

Este teorema relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cerrada simple en el plano con una integral doble en la región encerrada por C.

Teorema:

Sea D una región simple y sea MD su frontera descrita por una curva orientada C+. Supongamos que P : D à R y Q : D à R son de clase C1. Entonces:

El Teorema de Green también es válido para regiones que se pueden descomponer en varios trozos, cada uno de los cuales es simple. Por ejemplo si la región D es un anillo y su frontera consiste en dos curvas C = C1 + C2 con las orientaciones indicadas en la Figura 4.

Figura 4

Si se aplica el Teorema a cada una de las regiones D1, D2 , D3 y D4 y se suman los resultados, se obtiene la identidad dada por el teorema de Green para D y su frontera C. El resultado es válido porque las integrales a lo largo de las líneas interiores opuestas se cancelan entre sí

El Teorema de Green es muy útil porque relaciona una integral de línea a lo largo de la frontera de una región con una integral de área sobre el interior de la región o viceversa:

Podemos usar el teorema para obtener una fórmula para calcular el área de una región acotada por una curva cerrada simple. Esto es:

Si P(x , y) = -y Q(x , y) = x, entonces:

El jacobiano

Se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

Matriz jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera continua es decir se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal tal que:

Función escalar

Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar en este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial

Supongamos es una función que va del

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