Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

\int_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy) = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

A veces la notación

\oint_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy)

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de la divergencia

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} ds, donde \mathbf{\hat n} es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como d\mathbf{r} = \langle dx, dy\rangle es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser \langle dy, -dx\rangle. El módulo de este vector es \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Por lo tanto \mathbf{\hat n} ds = \langle dy, -dx\rangle.

Tomando los componentes de \mathbf{F} = \langle P, Q\rangle, el lado derecho se convierte en

\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds = \int_C (P dy - Q dx)

que por medio del teorema de Green resulta:

\int_C (-Q dx + P dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA

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