Teoremas De Apolonio

Este artículo es fruto de una colaboración entre dos áreas curriculares, Plástica y Matemáticas, que comparten un amplio campo

de contenidos curriculares, y en él se resuelven los diez problemas de tangencias de Apolonio. En primer lugar, se hace un tratamiento

sintético y se obtienen las soluciones con regla y compás utilizando Cabri. A cada construcción le sigue su planteamiento

analítico y se resuelven algunos ejemplos en el estilo de las coordenadas usando Maple. También se hace una breve reflexión sobre

las aportaciones de ambos procedimientos en cada caso y, finalmente, se concluye el artículo con unas reflexiones generales.

This article is the result of a collaboration between fields that may seem unrelated: Plastic Arts and Mathematics. They share a

wide field of syllabus, and in this work we solve the ten problems of Apollonius from the two perspectives. First, the synthetic treatment

is done by using the software Cabri and the solutions are obtained on the rule-and-compass manner; then the corresponding

analytic approach is considered, and we solve some of the examples using coordinates using Maple. Also a brief analysis

in both procedures is done case by case. Finally, we end the article with general reflections.

polonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente

conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por

su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el

problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y

que tiene este enunciado:

Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede

ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar

una circunferencia que sea tangente a cada uno de los

tres elementos dados.

Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de

ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular.

Según Boyer (1986), los casos más sencillos (tres puntos

y tres rectas) ya aparecen tratados en los Elementos de

Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto a estos otros

seis (dos puntos y una recta; dos rectas y un punto; dos puntos

y una circunferencia; dos circunferencias y un punto, dos

circunferencias y una recta; un punto, una recta y una circunferencia)

en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos

restantes (dos rectas y una circunferencia, y tres circunferencias)

en el Libro II de las Tangencias. Aunque desgraciadamente

estos libros se han perdido, a través de Pappus de

Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los

nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el

primer matemático que resolvió por medio de la regla y el

compás el problema de encontrar la circunferencia tangente a

otras tres circunferencias.

Inés Ortega

Didáctica de la Expresión Musical, Plástica y Corporal.

Tomás Ortega

Analisis Matemático y Didáctica de la Matemática,

Universidad de Valladolid.

Los diez problemas de Apolonio

A Consultada la base de datos del ZDM, Matdhi, sólo aparecen

cuatro trabajos relacionados con Apolonio y, de ellos, sólo el

artículo de E. R. Lozano (1997), tiene que ver con el problema

de tangencias, pero en él se trata la relación del problema de

Apolonio con el de Soddy y, por tanto, sigue una orientación

distinta de la que se hace aquí.

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Junio 2004, pp. 59-70

Se sabe que Apolonio resolvió

los nueve primeros, y hoy en

día se cree que fue Newton el

primer matemático que

resolvió el último.

El propósito de este artículo es mostrar como se pueden conjugar

la visión de la geometría sintética, propia del Área de

Dibujo, con la geometría analítica, propia de la Matemática, y

desde la óptica de la Didáctica combinar los estilos de resolución

de forma complementaria. Así se crea un marco interdisciplinar

de analisis didáctico que puede permitir elegir las

opciones de resolución y de razonamiento más apropiadas en

cada caso.

A continuación se describen los problemas y las soluciones

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