Teoremas Markov

UNAC-FCE

SEMESTRE ACADÉMICO 2011-B

ASIGNATURA: ESTADÍSTICA PARA ECONOMISTAS I

Profesor: Eduardo Villa M.

TEOREMAS DE MARKOV Y TCHEBYCHEV

Los siguientes resultados establecen cotas para las probabilidades en términos de los momentos de una variable aleatoria X.

Teorema de Tchebychev

Sea X una v.a. (discreta o continua), tal que para un cierto k>0 (no necesariamente entero) el momento de orden k de existe, entonces para cada >0, se cumple:

De este Teorema, se deducen dos desigualdades importantes en términos de los momentos. Para k=1, tenemos la desigualdad de Markov:

Y, para k=2, tenemos la desigualdad de Tchebychev:

Teorema de Markov

Sea X una v.a. (discreta o continua), g una función de la variable real x, no negativa y tal que E(g(X)) existe, entonces para cada >0, se cumple:

Corolario: Desigualdad de Tchebychev

Sea X una v.a. (discreta o continua), con y varianza finitas. Entonces para cada k>0, se cumple:

Otra expresión de esta desigualdad es:

Interpretación: La probabilidad de que una v.a. X tome un valor que dista del valor medio en menos de k veces su desviación típica es por lo menos 1- 1/k2 . Se pone así de manifiesto la importancia del valor medio y de la desviación típica como medidas fundamentales para caracterizar la distribución de una v.a.

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