Teorema binomial

el teorema binomial es el resultado que permite desarrollar un binomio: (x + y)n = xn + an-1xn-1y + an-2xn-2y2 + ... + yn donde los coeficientes ai se llaman coeficientes binomiales.

Una tautocrona es una curva cuya forma es tal que el periodo de las oscilaciones de una pequeña pelota que ruede sobre ella es independiente de su tamaño. La cicloide es un ejemplo de curva tautocrona: la pelota tardará el mismo tiempo en llegar a la parte más baja de la curva sin importar en dónde se coloque.

El cálculo de variaciones es una generalización del cálculo. Trata de encontrar la trayectoria, curva, superficie, etc. para la cual una función dada tiene un valor estacionario (generalmente un máximo o mínimo).

La teoría de probabilidad estudia los posibles resultados de eventos o sucesos aleatorios junto con su distribución. De hecho hay un debate importante sobre lo que significa probabilidad en la práctica. Algunos matemáticos la consideran una simple componente de una teoría abstracta mientra que otros le dan una interpretación basada en las frecuencias de ciertos resultados.

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra a las derivadas (de primer o mayor orden) de una o más funciones. Si la ecuación tiene solamente primeras derivadas, se le llama de primer orden, etc.

Si la ecuación contiene derivadas elevadas a la potencia n entonces se dice que es de grado n. Las de grado uno se llaman lineales.

Las ecuaciones que involucran a una sola variable se conocen como ecuaciones diferenciales ordinarias mientras que las que tienen más de una se llaman ecuaciones diferenciales parciales.

El problema de los tres cuerpos investiga el comportamiento de tres cuerpos que se atraen unos a otros (como el Sol, la Tierra y la Luna) y la estabilidad de sus movimientos.

El sistema solar está formado por el Sol, sus planetas, las lunas de éstos, etc.

La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.

Un número entero > 1 es primo si es divisible solamente por sí mismo y la unidad (1). Al número 1 no se le considera primo. Todo entero positivo puede escribirse como un producto de primos de manera única.

La palabra radical significa raíz así que un radical es la raíz enésima de un número. Resolver una ecuación polinomial por radicales consiste en encontrar una fórmula para sus raíces en términos de los coeficientes de tal manera que la fórmula solamente involucre las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y obtención de raíces.

Una permutación de un conjunto ordenado X es el reordenamiento de los elementos de X. Por ejemplo, si X es el conjunto ordenado (1, 2, 3) hay seis permutaciones de X: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). En general, un conjunto con n elementos tiene n! permutaciones. Uno puede permutar k elementos de un conjunto de tamaño n y obtener n!/k! permutaciones. Este número se denota a veces nPk para distinguirlo del número de combinaciones nCk.

Un grupo es una estructura formada por un conjunto y un método para combinar elementos (suma o multiplicación) tal que dicha estructura satisface ciertas propiedades que la hacen adecuado para una gran variedad de aplicaciones.

Grupos de permutaciones, simetrías, matrices, etc. son ampliamente usados en muchas áreas de las matemáticas y la física.

Teorema de Lagrange o del valor medio

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]

f(x) es derivable en (a,b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Sea A un anillo y S cualquier conjunto. El conjunto A[S] de todos los objetos

(1) \sum_{i=1}^{m}a_ix_1^{k_{i1}}\cdots x_n^{k_{in}},

en donde a_1,\ldots, a_m\in A, x_1,\ldots, x_n\in S y cada n-tupla (k_{i1},\ldots, k_{in}) de números naturales es diferente para diferente valor de i, se dice anillo de polinomios con indeterminadas en S sobre A.

Los polinomios más conocidos son los que tienen coeficientes enteros. Por ejemplo, tomando A como el anillo \mathbb{Z} y ~S=\{x,y\}, un elemento de \mathbb{Z}[S] es un polinomio en dos variables. Como por ejemplo:

(2) ~4x^3y-5xy^2+3y^3.

Notar que, si bien el conjunto de indeterminadas S puede ser un conjunto infinito, cada polinomio contiene un número finito de términos.

Si S=\{x_1,\ldots, x_n\}, entonces se puede escribir A[x_1,\ldots, x_n] en lugar de A[S]. Así, A[x] es un anillo de polinomios en una sola indeterminada x.

Puede notarse fácilmente que a cada elemento de a\in A le corresponde un polinomio (monomio, de hecho) en A[S] expresado como

ax_1^0x_2^0x_3^0\cdots,

donde x_1,x_2,x_3,\cdots\in S, es decir, desde el punto de vista algebraico, a=ax_1^0x_2^0x_3^0\cdots, por lo que A es un subanillo de A[S].

Propiedades fundamentales

Hechos de interés sobre anillos de polinomios tienen que ver con las propiedades del mismo a partir del anillo en el que tienen sus coeficientes. Por ejemplo, cuando A es un dominio íntegro, A[S] también lo es, y las unidades de A[S] son las mismas que las de A. Por el contrario A[S] nunca será un cuerpo, no importando que A lo sea o no, pues aunque las unidades de A[S] sean las mismas que las de A, A es tan sólo un subanillo de A[S]. Sin embargo, el anillo A[S] es un dominio integro si A lo es, luego, dado el caso, se puede construir el cuerpo de cocientes de A[S] (i.e. el cuerpo de fracciones de polinomios), que se denota comúnmente por A(S).

Los coeficientes de los polinomios de un anillo A[S] pueden tomarse no solo como los elementos de A. En la practica podemos hacer agrupaciones del tipo

~4x^2y^3-5xy^2+2zy=(4x^2)y^3-(5x)y^2+2zy

y éstas también deben hacerse en un anillo de polinomios A[S]. Para ello se separan los elementos de S en dos conjuntos disjuntos, digamos R y T, luego el anillo de polinomios A[R][T] tiene coeficientes en el anillo de polinomios A[R] e indeterminadas

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