Teorema De cálculo

Integral Definida

Aunque será necesario definirla de manera analítica, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto...

Definición. Integral definida

Sea f una función definida sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f de a en b, que se denota por ∫_a^b▒〖f(x)dx,〗 se define como

∫_a^b▒f(x)dx= lim┬(‖P‖→0)⁡∑_(k=1)^n▒〖f(x_k^*)∆x_k 〗

La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.

Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal

Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por

F(x)= ∫_a^b▒f(x)dx (1)

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

F^' (c)=f(c)

A la función F (x) se le llama primitiva de f (x).

[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a,b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a,b] y

F' = f

..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función

F(x)= ∫_a^b▒f(x)dx

Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal

Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces

∫_a^b▒f(x)dx=F(b)-F(a) (2)

Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.

Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (2) se acostumbra a escribir así:

F(x) |_(a )^b=F(b)- F(a)

Ejemplo:

En la igualdad (x^3/3)^'= x^2 podemos anotar F(x)= x^(3 )/3 y f(x)= x^2 entonces se

muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz, si queremos evaluar ∫_2^5▒〖x^2 dx〗 haremos ∫_2^5▒〖x^2 dx〗=F(5)- F(2)

Propiedades de la integral definida

Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:

1. ∫_a^b▒f(x)dx=0

2. ∫_a^b▒f(x)dx= - ∫_b^a▒f(x)dx

...