Teorema Fundamental Del Calculo

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.= (x1y1+ x2y2+ x3y3+ x4y4……………+ XnYn).

NOTACION SUMATORIA

Identificar cual es el numero con el que vas a empezar a sumar. Ese número esta debajo de este signo: ∑. Después de haber identificado el número tienes que identificar otro numero para saber hasta que numero vas a terminar de sumar. Ese número está arriba de este signo: ∑. Después de haber identificado los números, entonces pones los números que vas a sumar delante del signo igual que debes de poner enseguida del signo: ∑.Sumas los numero y está terminado tu ejercicio. Si hay letra debajo del símbolo de suma, sustituyes la letra por el valor numérico hasta que llegues al número que está arriba del símbolo de suma.

Ejemplo:

:

1.- ∑4n=0 n=0+1+2+3+4= 10

2.- ∑7k=1 k(k +1) = 1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+5(5+1)+6(6+1)+7(7+1)= 143

SUMAS DE RIEMANN

Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

Consideremos lo siguiente:

 Una función

Donde D es un subconjunto de los números reales

 I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

 Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

crean una partición de I

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

Donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.

Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA

La integral como un límite hemos definido la norma de una partición. La relación entre la norma y el nº de subintervalo que tomemos en una partición general [a,b] será:

(b-a) / ||∆|| ≤ n

Si la norma tiende a cero, está claro que (nº de subintervalo en [a,b])tenderá a infinito. Este es el caso ideal para obtener un valor exacto de la integral.

El caso contrario no siempre es cierto, es decir, el que haya infinitos subintervalo implica necesariamente que la norma tienda a cero. Por ejemplo sea ∆n la partición del intervalo [0,1] dada de la siguiente manera:

Los subintervalos tienden a hacerse cada vez más pequeños, cuando n sea lo suficientemente grande, tenderán a cero, pero ello no evita qué tengamos un subintervalo de ancho 1/2 que en este caso será la norma de la partición ∆n

Si f(x) está definida en el intervalo [a,b](única condición impuesta por Riemann, puesto que ahora la definición de Integral definida va a ser mucho más amplia que la que dimos para el cálculo del área bajo una curva)

Y existe el límite. Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a,b]y lo escribimos se le llaman límites inferior y superior de integración

TEOREMA DE EXISTENCIA

Es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1) donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces

5) Propiedad de aditivita del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

FUNCION PRIMITIVA

Es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original. Ejemplo:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano. Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral. Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente) dominio). F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral: Aquí están las principales funciones primitivas: Función F: primitiva de f función f: derivada de F

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin

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