Teorema Fundamental Del Cálculo

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Universidad Simón Bolívar -Sede el Litoral

Secc: 09

PRIMER Y SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA INTEGRALES

AUTOR:

PROFESOR: Luis Miguel Ricaurte

Ricardo Valles Carnet: 13-04494

Vargas, Mayo 2014.

Primer teorema fundamental del cálculo para integrales

El teorema establece que la derivación e integración de una función son operaciones inversas, esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por

F(x)=∫_a^x▒〖f(t)dt〗, para toda x∈ [a,b];

Si c pertenece a [a,b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c:

F^' (c)=f(c)

Si f tiene mejores propiedades, por ejemplo, si f es continua en todos los puntos de [a,b], entonces F es diferenciable en todos los puntos de (a,b):

d/dx ∫_a^x▒〖f(t)〗 dt=f(x)

Ejemplo:

d/dx ∫_1^(x^2)▒〖1/(1+t^2 ) dt〗 = 1/(1+x^2 )∙2x

t= x^2

dt= 2x

Ejercicio:

d/dx ∫_0^x▒〖√(4+t^6 ) dt=√(4+x^6 )〗

Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales

El segundo teorema fundamental del cálculo integral o también regla de Barrow es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Sea f una función continua en un intervalo abierto I, y sea P cualquier antiderivada (una integral indefinida, P'=f) de f en I. Entonces, para cada a y cada b en I, tenemos que

∫_a^b▒〖f(t)dt=P(b)-P(a)〗

Ejemplo:

∫_0^1▒〖x^2 □(24&dx)〗

Solución: Hallamos una primitiva ∫_0^1▒〖x^2 □(24&dx)〗=1/3 x^3 luego

∫_0^1▒〖x^2 □(24&dx=)〗 |1/3┤ x^3 |■(1@@0)┤= 1/3 (1)^3-1/3 (0)^3=1/3

Ejercicio:

∫_(-1)^3▒dy/(y+2)^3

Solución:

∫_(-1)^3▒〖dy/(y+2)^3 =-1/(2(y+2)^2 ) |■(3@@-1)┤ 〗

∫_(-1)^3▒〖dy/(y+2)^3 =-1/(2(3+2)^2 )-(-1/(2(-1+2)^2 )) 〗=-1/(2(5)^2 )+1/(2(1)^2 )

=-1/50+1/2=(-1+25)/50=24/50

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