Teorema Fundamental del Cálculo

Unidad 1.- Teorema Fundamental del Cálculo.‎ > ‎

1.1 Medición Aproximada de Figuras Amorfas

1.1 aproximación de figuras amorfas

Las figuras amorfas "son aquellas figuras que no tiene forma”.

Es una curva o una figura de muchos lados distintos.

Su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de

adentro de una figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa.

Para medir su área se utiliza la Notación de la Sigma

https://sites.google.com/site/ciclopezlopezmiriamj/1-teorema-fundamental-del-calculo/1-1-medicion-aproximada-de-figuras-amorfas

1.2 NOTACIÓN SUMATORIA

notacion sigma

la suma de los primeros 10 números pares

la suma de los números impares

explicación:

En las sumatorias se responden porque tienen un límite y nada más sustituyen los limites en las formulas y así se llega al resultado .

Hay sumatorias que llevan de una serie y se tienen que obtener las fórmulas para su solución y hay sumatorias que están en formula y tienes que sacar la serie para darle solución.

1.3.SUMA DE RIEMANN

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes

de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas

de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales.

El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)

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1.4 Definicion Integral Definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x)  g (x), se verifica que:

Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

http://www.hiru.com/matematicas/la-integral-definida

1.5 teorema de existencia

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b].

Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho

intervalo, para el que se verifica:

El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único.

El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa

Propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación

media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza

presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse

por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de

funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de

Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración

sencilla.

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2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA

Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta.

Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua

en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se

cumple la hipótesis de nuestro teorema.

La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:

Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores

se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos,

en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica

y eso provoca que en algunos intervalos el

punto c no sea único.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio

queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que

el extremo b.

En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error.

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