TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

ACTIVDAD 6 EJERCICIOS SOBRE VALOR MEDIO

REALIZADO POR:

LINA MARCELA MONCADA QUICENO

GREYS ALEXANDRA VELEZ GUZMAN

YERALDIN LORENA ORREGO AVENDAÑO

DOCENTE:

CARLOS MARIO CALLE VELASQUEZ

CURSO:

CÁLCULO INTEGRAL  

NRC: 5201

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

FACULTAD DE EDUCACIÓN

ADMINISTRACIÓN FINANCIERA – DISTANCIA

BELLO

2019

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.

Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos.

Teorema fundamental del cálculo:

Sea F una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:

1. F es continua en [a, b]
2. En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto, y F'(c) = f(c).

El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada por la gráfica de una función continua f(x).

 [pic 1]

A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área Tc.

Si calculamos la derivada de esa función:

[pic 2]

 [pic 3]

[pic 4]

Luego F'(c) = f(c), para todo c en [a, b]

Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente diferentes. La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la tangente a una curva en un punto (o también el cambio en la velocidad), mientras que la integración corresponde a un proceso encaminado a encontrar el área bajo una curva. El Teorema Fundamental afirma que ambos procesos son inversos el uno del otro

Regla de Barrow.

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) cualquier función primitiva de f(x) en [a, b], es decir:

F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:

[pic 5]

La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte, es un método que nos permite calcular integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y luego calcularla en los límites de integración y por otro representa una conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Generalización. Regla de la cadena:

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) una función primitiva de f(x) en [a, b],

sea g(x) una función diferenciable, entonces:

[pic 6]

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b).

 La tesis del teorema es que, en tal caso, la derivada coincide con la pendiente media mF de F en [a,b] (tasa de variación media) en algún punto del intervalo (a,b).

El teorema de valor medio nos garantiza que, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F'(x) = mF es decir, F'(x) = (F(b)-F(a))/(b-a). Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada sobre cómo encontrarlo.

Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de F(a) como de F(b). Veremos que este teorema es a la vez una generalización y una consecuencia del teorema de Rolle.

El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a él podemos obtener información de la función F a partir de su función derivada F'. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo.

[pic 7]

Ejemplos:

1. Sea la función f(x) =5 – 4/x . Halla todos los valores pertenecientes al intervalo (1, 4 que denotaremos por c, que cumplan lo siguiente:  [pic 8]

Solución:

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