Teorema Fundamental Del Calculo

Teorema Fundamental Del Calculo

Teorema Fundamental del Cálculo

El cálculo está en el corazón de las matemáticas y se compone de dos operaciones básicas que son, integración y diferenciación. Existía la necesidad de cerrar la brecha entre estas dos operaciones y por tanto el Teorema Fundamental del Cálculo fue diseñado. Este teorema está dividido en dos partes, a saber: El Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

Y la cual es una función continua de un intervalo con rango desde [p, q], existe una función integral indefinida F de la función dada en el mismo intervalo de forma que,De acuerdo con el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, para una función f: X

Este teorema ayuda a establecer una conexión entre la integración indefinida que es únicamente de origen algebraico y la integración definida que es únicamente de origen geométrico. También sugiere la existencia de una antiderivada para cada función que sea continua.

Demos un vistazo a un ejemplo para tener una comprensión más profunda.

De acuerdo con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, para una función f: X → Y la cual es una función continua de un intervalo abierto donde haya un punto x dentro de este intervalo abierto entonces una función integral indefinida F de la función dada será definida como,

Entonces para cada punto en el intervalo abierto de la función dada se puede concluir que,

En términos simples se puede afirmar que para cualquiera de las funciones su integral definida se puede calcular con la ayuda de cualquiera de sus antiderivadas.

El segundo teorema es altamente utilizado para aplicaciones prácticas dado que con el uso de este teorema se hace muy fácil calcular la integral definida de una función.

El Teorema Fundamental del Cálculo se ha modificado para hacerlo conveniente para resolver algunos de los problemas de las curvas lo cual pude ser establecido como, para una función f: X → Y la cual tiene una integral indefinida continua en algún área limite la cual en sí contiene una curva parametrizada ,

Si el Teorema Fundamental del Cálculo se combina con la Regla de la Cadena, algunos los resultados de interés procedentes del cálculo pueden ser obtenidos. Por ejemplo, sea f(z) una función continua sobre el intervalo [p, q] y asuma que g(z) es diferenciable en el mismo intervalo, entonces podemos afirmar que,

Como sabemos que la Regla de la Cadena establece que,

Una forma generalizada para la expresión puede ser,

Para la expresión anterior ambas funciones g(z) y v(z) son diferenciables en el intervalo dado. Un ejemplo haría las cosas más fáciles de entender,

Aquí F(x) no posee una forma explícita de sí misma.

Medicion Aproximada De Figuras Amorfas

Medida Aproximada de Figuras Amorfas

Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado.

Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimaresta área.

La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.

Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.

Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación,

Para estimar el área de tal figura, considereque el área bajo la curva estácompuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.

Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy

3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración,entonces

A = | f(x) dx|

4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encimadel eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,

A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,

Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

El área de la región limitada es,

A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3

Saludos y suerte prof lauro soto

Notacion Sumatoria

Notación Sumatoria

En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como

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